正交多項式

Template:NoteTA 函數 $W (x)$ 若在區間(a,b)可積，且 $W (x) \geq 0$ ，則可作為權函數。

對於一個多項式的序列 $f_{i}$ 和權函數 $W (x)$ ，定義內積 $: ⟨ f_{m}, f_{n} ⟩ = \int_{a}^{b} f_{m} (x) f_{n} (x) W (x) d x$

若 $n \neq m$ ， $⟨ f_{m}, f_{n} ⟩ = 0$ ，這些多項式則稱為正交多項式（Template:Lang-en）。

若 $f_{i}$ 除了正交之外，更有 $⟨ f_{n}, f_{n} ⟩ = 1$ 的話，則稱為規範正交多項式。

例子

若權函數為1，區間為(-1,1)， $f_{0} (x) = 1$ ，對應的正交多項式有：

f_{1} (x) = x

f_{2} (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{2}

f_{3} (x) = \frac{5 x^{3} - 3 x}{2}

f_{4} (x) = \frac{35 x^{4} - 30 x^{2} + 3}{8}

⋮

它們稱為勒讓德多項式。

對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。

常見的正交多項式

性質

遞歸方程

$f_{n + 1} = (a_{n} + x b_{n}) f_{n} - c_{n} f_{n - 1}$

其中 $b_{n} = \frac{k_{n + 1}}{k_{n}}, a_{n} = b_{n} (\frac{k_{n^{'} + 1}}{k_{n + 1}} - \frac{k_{n^{'}}}{k_{n}}), c_{n} = b_{n} (\frac{k_{n - 1} h_{n}}{k_{n} h_{n - 1}}), h_{n} = ⟨ f_{n}, f_{n} ⟩$

實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有 $n$ 個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
奇偶性：若 $W (x)$ 為偶函數，且正交區間為 $(- a, a)$ ，則有 $f_{n} (- x) = (- 1)^{n} f_{n} (x)$ 。

外部連結

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22 Template:Wayback
Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
Orthogonal polynomials Template:Wayback (Springer Online Reference Works)

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