拉盖尔多项式

在数学中，以法国数学家Template:Link-en命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

这是一个二阶线性微分方程。

这个方程只有当n非负时，才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中，计算形如$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$的积分。

这些多项式（通常用L₀, L₁等表示）构成一个多项式序列。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right).$

在按照下式定义的内积构成的内积空间中，拉盖尔多项式是正交多项式。

$⟨f,g⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)e^{-x}dx.$

拉盖尔多项式构成一个Template:Link-en。

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子薛定谔方程的解的径向部分，就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式，即在上面的形式的基础上乘上一个n!。

前几个拉盖尔多项式

前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下：

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

前六个拉盖尔多项式

递归定义

拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先，规定前两个拉盖尔多项式为：

$L_0(x)=1$

$L_1(x)=1-x$

然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

$L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}((2k+1-x)L_k(x)-k{L}_{k-1}(x)).$

广义拉盖尔多项式

上面提到的拉盖尔多项式的正交性，也可以用另外一种方式表达。即：如果X是一个服从指数分布的随机变量（即，概率密度函数如下式）：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-x}& \text{if}x>0,\\ 0& \text{if}x<0,\end{array}$

那么：

$E[L_n(X)L_m(X)]=0\text{whenever}n\ne m.$

指数分布不是唯一的伽玛分布，对于任意的伽玛分布（概率密度函数如下，α > −1，参见Γ函数）

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{\alpha }{e}^{-x}/\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )& \text{if}x>0,\\ 0& \text{if}x<0,\end{array}$

相应的正交多项式为形如下式的广义拉盖尔多项式（可以通过罗德里格公式得到）：

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^{n+\alpha }\right).$

有时也将上面的多项式称为连带（联属，伴随）拉盖尔多项式。当取α = 0时，就回到拉盖尔多项式：

$L_n^{(0)}(x)=L_n(x).$

广义拉盖尔多项式的性质与应用

• 拉盖尔函数可以由合流超几何函数和Kummer变换得到： $L_n^{(\alpha )}(x):=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})M(-n,\alpha +1,x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})\sum _{i=0}(-1{)}^i\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i})}{x}^i$ $=e^x\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)$$=\frac{e^x\sin (n\pi )}{\sin ((n+\alpha )\pi )}{L}_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)$$=e^x\cdot \sum _{i=0}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +n+i}{n})\frac{x^i}{i!}.$当$n$为整数时，截断为$n$阶拉盖尔多项式。
• $n$阶拉盖尔多项式可以通过将Template:Link-en应用在罗德里格公式上而得到，结果为$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-i})\frac{x^i}{i!}$。
• n阶拉盖尔多项式的首项系数为(−1)ⁿ/n!；
• 拉盖尔多项式在x=0的取值（常数项）为 $L_n^{(\alpha )}(0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})\approx \frac{n^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)};$
• L_n^(α)有n个实的正根（应该注意到 ${((-1{)}^{n-i}{L}_{n-i}^{(\alpha )})}_{i=0}^n$构成以施图姆序列），且这些根全部位于区间$(0,n+\alpha +(n-1)\sqrt{n+\alpha }]$中。
• 当$n$很大，而$\alpha$不变，$x>0$时，拉盖尔多项式的渐近行为如下：

$L_n^{(\alpha )}(x)\approx \frac{n^{\frac{\alpha }{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi }}\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{4}}}\cos (2\sqrt{x(n+\frac{\alpha +1}{2})}-\frac{\pi }{2}(\alpha +\frac{1}{2}))$，以及

$L_n^{(\alpha )}(-x)\approx \frac{n^{\frac{\alpha }{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi }}\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{4}}}\exp \left(2\sqrt{x(n+\frac{\alpha +1}{2})}\right)$。

• 前几个广义拉盖尔多项式为：

$L_0^{(\alpha )}(x)=1$

$L_1^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_2^{(\alpha )}(x)=\frac{x^2}{2}-(\alpha +2)x+\frac{(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}$

$L_3^{(\alpha )}(x)=\frac{-x^3}{6}+\frac{(\alpha +3)x^2}{2}-\frac{(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}+\frac{(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}$

• 根据拉盖尔多项式的定义，可以使用秦九韶算法计算拉盖尔多项式，程序代码如下：

 function LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    for i:= n to 1 step -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    return LaguerreL;
 }

递推关系

拉盖尔多项式满足以下的递推关系：

$L_n^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),$

特别地，有

$L_n^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)$以及$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n-i-1}{n-i})L_i^{(\beta )}(x)$，或$L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n}{n-i})L_i^{(\beta -i)}(x);$

还有

$\begin{array}{cc}{L}_n^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\mathrm{\Delta }-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-j})(-1{)}^j\frac{x^j}{j!}& =(-1{)}^{\mathrm{\Delta }}\frac{x^{\mathrm{\Delta }}}{(\mathrm{\Delta }-1)!}\sum _{i=0}^{n-\mathrm{\Delta }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-\mathrm{\Delta }-i})}{(n-i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{L}_i^{(\alpha +\mathrm{\Delta })}(x)\\ & =(-1{)}^{\mathrm{\Delta }}\frac{x^{\mathrm{\Delta }}}{(\mathrm{\Delta }-1)!}\sum _{i=0}^{n-\mathrm{\Delta }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha -i-1}{n-\mathrm{\Delta }-i})}{(n-i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{L}_i^{(n+\alpha +\mathrm{\Delta }-i)}(x).\end{array}$

运用以上式子可以得到以下四条关系式：

• $L_n^{(\alpha )}(x)=L_n^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)$$=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x),$
• $n{L}_n^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-x{L}_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),$ or $\frac{x^k}{k!}{L}_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k-i})L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),$
• $n{L}_n^{(\alpha +1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)$
• $x{L}_n^{(\alpha +1)}=(n+\alpha )L_{n-1}^{\alpha }(x)-(n-x)L_n^{(\alpha )}(x);$

将它们组合在一起，就得到了最常用的递推关系式：

$L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\frac{1}{n+1}((2n+1+\alpha -x)L_n^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)).$

当$i$与$n$均为整数时，拉盖尔多项式有以下的有趣性质：

$\frac{(-x{)}^i}{i!}{L}_n^{(i-n)}(x)=\frac{(-x{)}^n}{n!}{L}_i^{(n-i)}(x);$

进一步可以得到部分分式分解：

$\frac{L_n^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})}=1-\sum _{j=1}^n\frac{x^j}{\alpha +j}\frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}=1-x\sum _{i=1}^n\frac{L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}.$

拉盖尔多项式的导函数

将拉盖尔多项式对自变量x求导k次，得到：

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}{L}_n^{(\alpha )}(x)=(-1{)}^k{L}_{n-k}^{(\alpha +k)}(x);$

进一步有：

$\frac{1}{k!}\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}{x}^{\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k})x^{\alpha -k}{L}_n^{(\alpha -k)}(x),$

运用Template:Link-en可以得到：

$L_n^{({\alpha }^{\prime })}(x)=({\alpha }^{\prime }-\alpha )(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }^{\prime }+n}{{\alpha }^{\prime }-\alpha })\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^{\alpha }(x-t{)}^{{\alpha }^{\prime }-\alpha -1}}{x^{{\alpha }^{\prime }}}{L}_n^{(\alpha )}(t)dt.$

将拉盖尔多项式对参变量$\alpha$求导，得到下面的有意思的结果：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{n-i}.$

广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程：

$x{L}_n^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_n^{(\alpha )\prime }(x)+n{L}_n^{(\alpha )}(x)=0,$

可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。

$x{L}_n^{(k)\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_n^{(k)\prime }(x)+(n-k)L_n^{(k)}(x)=0,$

仅在此式中，$L_n^{(k)}(x)\equiv \frac{d{L}_n(x)}{d{x}^k}$（后面这个符号又有了新的含义）。

于是，当$\alpha =0$时，广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示： $L_n^{(k)}(x)=(-1{)}^k\frac{d{L}_{n+k}(x)}{d{x}^k}$ 式中的上标(k)容易与求导k次混淆。

正交性

伴随拉盖尔多项式在区间[0, ∞)上以权函数x^α e ^−x正交：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{n,m},$

这可由下式得到：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{{\alpha }^{\prime }-1}{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)dx=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -{\alpha }^{\prime }+n}{n})\mathrm{\Gamma }({\alpha }^{\prime }).$

伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为：

$\begin{array}{cc}{K}_n^{(\alpha )}(x,y)& :=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\sum _{i=0}^n\frac{L_i^{(\alpha )}(x)L_i^{(\alpha )}(y)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i})}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\frac{L_n^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_n^{(\alpha )}(y)}{\frac{x-y}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\sum _{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\frac{L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +n}{n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})};\end{array}$

也有下面的递推关系：

$K_n^{(\alpha )}(x,y)=\frac{y}{\alpha +1}{K}_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\frac{L_n^{(\alpha +1)}(x)L_n^{(\alpha )}(y)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +n}{n})}.$

进一步地，在伴L²[0, ∞)空间上，有：

$y^{\alpha }{e}^{-y}{K}_n^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ),$

在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha +1}{e}^{-x}{\left[L_n^{(\alpha )}\right]}^{2}dx=\frac{(n+\alpha )!}{n!}(2n+\alpha +1).$

级数展开

设一个函数具有以下的级数展开形式：

$f(x)=\sum _{i=0}{f}_i^{(\alpha )}{L}_i^{(\alpha )}(x).$

则展开式的系数由下式给出

$f_i^{(\alpha )}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+\alpha }{i})}\cdot \frac{x^{\alpha }{e}^{-x}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\cdot f(x)dx.$

这个级数在Lp空间$L^2[0,\mathrm{\infty })$上收敛，当且仅当

$\Vert f{\Vert }_{L^2}^2:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\alpha }{e}^{-x}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{i=0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+\alpha }{i})|f_i^{(\alpha )}{|}^2<\mathrm{\infty }.$

一个相关的展开式为：

$f(x)=e^{\frac{\gamma }{1+\gamma }x}\cdot \sum _{i=0}\frac{L_i^{(\alpha )}\left(\frac{x}{1+\gamma }\right)}{(1+\gamma {)}^{i+\alpha +1}}\sum _{n=0}^i{\gamma }^{i-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})f_n^{(\alpha )};$

特别地

$e^{-\gamma x}\cdot L_n^{(\alpha )}(x(1+\gamma ))=\sum _{i=n}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{(1+\gamma {)}^{i+\alpha +1}}{\gamma }^{i-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n}),$

这可由下式得到：

$L_n^{(\alpha )}\left(\frac{x}{1+\gamma }\right)=\frac{1}{(1+\gamma {)}^n}\sum _{i=0}^n{\gamma }^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-i})L_i^{(\alpha )}(x).$

还有，当$\mathrm{Re}(2\alpha -\beta )>-1$时，

$\frac{x^{\alpha -\beta }f(x)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha -\beta +1)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })\sum _{i=0}\frac{L_i^{(\beta )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta +i}{i})}\sum _{n=0}^i(-1{)}^{i-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta }{i-n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +n}{n})f_n^{(\alpha )},$

这个结果可以由下式导出，

$\frac{x^{\alpha -\beta }{L}_n^{(\alpha )}(x)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha -\beta +1)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +n}{n})\sum _{i=n}(-1{)}^{i-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta }{i-n})\frac{L_i^{(\beta )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta +i}{i})}$

更多的例子

幂函数可以展开为：

$\frac{x^n}{n!}=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-i})L_i^{(\alpha )}(x)=(-1{)}^n\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha -i)}(x)(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\alpha }{n-i}),$

二项式可以展开为：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+x}{n})=\sum _{i=0}^n\frac{{\alpha }^i}{i!}{L}_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).$

进一步可以得到：

$e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}\frac{{\gamma }^i}{(1+\gamma {)}^{i+\alpha +1}}{L}_i^{(\alpha )}(x)$（当且仅当 $\mathrm{Re}(\gamma )>-\frac{1}{2}$时收敛）

更一般地

$\frac{x^{\beta }{e}^{-\gamma x}}{\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta }{\alpha })\sum _{i=0}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i})}\sum _{j=0}^i\frac{(-1{)}^j}{(1+\gamma {)}^{\alpha +\beta +j+1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta +j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i-j}).$

对于非负的整数$\beta$，可以化简为：

$\frac{x^n{e}^{-\gamma x}}{n!}=\sum _{i=0}\frac{{\gamma }^i{L}_i^{(\alpha )}(x)}{(1+\gamma {)}^{i+n+\alpha +1}}\sum _{j=0}^n(-1{)}^{n-j}{\gamma }^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n-j}),$

当$\gamma =0$时，可以化简为：

$\frac{x^{\beta }}{\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta }{\alpha })\sum _{i=0}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta }{i})\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i})},$或

$\frac{x^{\beta }{L}_n^{(\gamma )}(x)}{\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta }{\alpha })\sum _{i=0}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i})}\sum _{j=0}^n(-1{)}^{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\gamma }{n-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta +j}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta +j}{j}).$

雅可比Theta 函数有下面的表示：

$\sum _{k\in \mathbb{Z}}{e}^{-k^2\pi x}=\sum _{i=0}{L}_i^{(\alpha )}\left(\frac{x}{t}\right)\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{(k^2\pi t{)}^i}{(1+k^2\pi t{)}^{i+\alpha +1}};$

随意选定参量t，贝塞尔函数可以表示为： $\frac{J_{\alpha }(x)}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}=\frac{e^{-t}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\sum _{i=0}\frac{L_i^{(\alpha )}\left(\frac{x^2}{4t}\right)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+\alpha }{i})}\frac{t^i}{i!};$ Γ函数可以展开为：

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=x^{\alpha }\sum _{i=0}\frac{L_i^{(\alpha )}(x)}{\alpha +i}(\mathrm{\Re }(\alpha )<\frac{1}{2});$

低阶不完全伽玛函数可展开为：

$\frac{\gamma (s;z)}{t^s\mathrm{\Gamma }(s)}=\frac{{\left(\frac{z}{t}\right)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\sum _{i=0}\frac{L_i^{(\alpha )}\left(\frac{z}{t}\right)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i}{i})}\sum _{j=0}^i\frac{(-1{)}^j}{(1+t{)}^{s+j}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s-1+j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -1+i}{i-j}),$

$\frac{\gamma (s;z)}{t^s\mathrm{\Gamma }(s)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +s}{\alpha +1})\sum _{i=0}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i+1}{i+1})-L_{i+1}^{(\alpha )}\left(\frac{z}{t}\right)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i+1}{i})}\sum _{j=0}^i\frac{(-1{)}^j}{(1+t{)}^{\alpha +1+s+j}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +s+j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +i+1}{i-j}).$

还有：

$\gamma (s,z)=\frac{{\gamma }^s}{\mathrm{\Gamma }(1-s)}\sum _{i=0}\frac{L_{i+1}^{(-s)}(0)-L_{i+1}^{(-s)}\left(\frac{z}{\gamma }\right)}{(1+\gamma {)}^{i+1}}\sum _{n=0}^i{\gamma }^{i-n}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})}{n+1-s};$

于是，高阶不完全伽玛函数就是：

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }(s,z)}{z^s{e}^{-z}}& =\sum _{k=0}\frac{L_k^{(\alpha )}(z)}{(k+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1+\alpha -s}{k+1})}(\mathrm{\Re }(s-\frac{\alpha }{2})<\frac{1}{4})\\ & =\sum _{k=0}{L}_k^{(\alpha )}(zt)\cdot \frac{{}_2{F}_1(1+\alpha +k,1+k;2+\alpha +k-s;\frac{t-1}{t})}{t^k(k+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{1+\alpha +k-s}{1+k})}\\ & =t^s\sum _{k=0}{L}_k^{(\alpha )}(zt)\cdot \frac{{}_2{F}_1(1-s,1+\alpha -s;2+\alpha +k-s;\frac{t-1}{t})}{(k+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{1+\alpha +k-s}{1+k})}\\ & =t^{1+\alpha }\sum _{k=0}{L}_k^{(\alpha )}(zt)\cdot \frac{{}_2{F}_1(1+\alpha +k,1+\alpha -s;2+\alpha +k-s;1-t)}{(k+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{1+\alpha +k-s}{1+k})},\end{array}$

${}_2{F}_1$表示超几何函数。

围道积分表示

拉盖尔多项式可以用围道积分表示，如下式所示：

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{e^{-\frac{xt}{1-t}}}{(1-t{)}^{\alpha +1}{t}^{n+1}}dt$

积分方向逆时针绕原点一周。

与埃爾米特多項式的关系

广义拉盖尔多项式与埃爾米特多項式有下列关系：

$H_{2n}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2)$

以及

$H_{2n+1}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n+1}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2)$

这里的H_n表示乘上了exp(−x²)的埃爾米特多項式（所谓的“物理学家形式”）。 正因为这样，广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。

与超几何函数的关系

拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义，具体地说，是用合流超几何函数定义：

$L_n^{(\alpha )}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})M(-n,\alpha +1,x)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_1{F}_1(-n,\alpha +1,x)$

$(a{)}_n$是阶乘幂，这里表示升阶乘。

与贝塞尔函数的关系

拉盖尔多项式与变形贝塞尔函数之间有以下关系：

$\begin{array}{cc}{L}_n^{(\alpha )}(x)=& e^{\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{4}\right)}^{n+\frac{1}{2}}\frac{2}{\sqrt{\pi }(n+1)!(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n+1})}\cdot \\ & \cdot \sum _{k=0}^n(-1{)}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n-k})\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +2n+1}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+\alpha }{n-k})}(k+\frac{1}{2})K_{k+\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{2}\right)\\ =& e^{\frac{x}{2}}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{n+\alpha +\frac{1}{2}}\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\alpha -1}{n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\alpha -\frac{1}{2}}{n})\cdot \\ & \cdot n!\sum _{k=0}^n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2n-1-2\alpha }{k-n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2n-1-\alpha }{k-n})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\alpha -1}{k-n})}(\alpha +\frac{1}{2}+k)I_{\alpha +\frac{1}{2}+k}\left(\frac{x}{2}\right)\end{array},$

进一步有：

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{2}{4^n(2n+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n})}\sum _{k=0}^n(k+\frac{1}{2})\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n-k})}{{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+\alpha +1}{n-k})\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}{L}_k^{-2k-1}(x).$

外部链接

• 氢原子量子力学处理中的拉盖尔多项式的快速求导法Template:Wayback

参考文献

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 Template:Wayback", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial Template:Wayback", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Template:Cite book
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.