Q查理耶多项式

q查理耶多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式

$c_n(x;a;q)={}_2{\varphi }_1(q^{-n},q^{-x};0;q,-q^{n+1}/a)$

极限关系

令Q查理耶多项式 a→a*(1-q),并令q→1，即得查理耶多项式

$li{m}_{q\to 1}{C}_n(q^{-n};a(1-q);q)=C_n(x;a)$

验证Q查理耶多项式→查理耶多项式

Q查理耶多项式之第4项(k=4):

$\frac{(1-q^{-n})(1-q^{-n}q)(1-q^{-n}{q}^2)(1-q^{-n}{q}^3)(1-q^{-x})(1-q^{-x}q)(1-q^{-x}{q}^2)(1-q^{-x}{q}^3){\left(q^n\right)}^4{q}^4}{a^4{(1-q)}^5(1-q^2)(1-q^3)(1-q^4)}$ 展开之： $\frac{1}{24}\frac{36nx-66n{x}^2+36n{x}^3-6n{x}^4-66n^{2}x+121n^2{x}^2-66n^2{x}^3+11n^2{x}^4+36n^{3}x-66n^3{x}^2+36n^3{x}^3-6n^3{x}^4-6n^{4}x+11n^4{x}^2-6n^4{x}^3+n^4{x}^4}{a^4}$

另一方面 查理耶多项式的k=4项为

$\frac{1}{24}\frac{𝑝𝑜𝑐ℎℎ𝑎𝑚𝑚𝑒𝑟(-n,4)𝑝𝑜𝑐ℎℎ𝑎𝑚𝑚𝑒𝑟(-x,4)}{a^4}$

展开之

$\frac{1}{24}\frac{nx(36-66x+36x^2-6x^3-66n+121nx-66n{x}^2+11n{x}^3+36n^2-66n^{2}x+36n^2{x}^2-6n^2{x}^3-6n^3+11n^{3}x-6n^3{x}^2+n^3{x}^3)}{a^4}$

二者显然相等 QED

图集

Q-CHARLIER ABS COMPLEX 3D MAPLE PLOT

Q-CHARLIER IM COMPLEX 3D MAPLE PLOT

Q-CHARLIER RE COMPLEX 3D MAPLE PLOT

Q-CHARLIER ABS DENSITY MAPLE PLOT

Q-CHARLIER IM DENSITY MAPLE PLOT

Q-CHARLIER RE DENSITY MAPLE PLOT

参考文献

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