埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

定义

前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。

埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是概率论中较为常用的形式（记作：$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}(x)$）：

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}$

另一种是物理学中较为常用的形式（记作：$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)$）：

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$

物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是：

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=2^{n/2}{H}_n^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}(\sqrt{2}x).$

概率论中常用第一种定义，因为$\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi }}$是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。

前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式

序号	概率学	物理学
$H_0(x)$	$1$	$1$
$H_1(x)$	$x$	$2x$
$H_2(x)$	$x^2-1$	$4x^2-2$
$H_3(x)$	$x^3-3x$	$8x^3-12x$
$H_4(x)$	$x^4-6x^2+3$	$16x^4-48x^2+12$
$H_5(x)$	$x^5-10x^3+15x$	$32x^5-160x^3+120x$

性质

多项式H_n 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2ⁿ。

正交性

多项式H_n 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

$w(x)={\mathrm{e}}^{-x^2/2}$   （概率论）

$w(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$   （物理学）

也就是说，当m ≠ n 时：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m(x)H_n(x)w(x)\mathrm{d}x=0$

除此之外，还有：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}(x)H_n^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2}\mathrm{d}x=n!\sqrt{2\pi }{\delta }_{mn}$   （概率论）

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x){\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=n!2^n\sqrt{\pi }{\delta }_{mn}$   （物理学）

其中${\delta }_{mn}$是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性

在所有满足

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|f(x)|}^{2}w(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }$

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

$⟨f,g⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}w(x)\mathrm{d}x$

埃尔米特微分方程

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

$(e^{-x^2/2}{u}^{\prime }{)}^{\prime }+\lambda e^{-x^2/2}u=0$

方程的边界条件为：$u$应在无穷远处有界。

其中$\lambda$是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取$\lambda$∈$\mathbb{N}$。对于一个特定的本征值$\lambda$，对应着一个特定的本征函数解，即$H_{\lambda }^{prob}(x)$。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

$u^{″}-2x{u}^{\prime }+2\lambda u=0$

其本征值同样为$\lambda$∈$\mathbb{N}$，对应的本征函数解为$H_{\lambda }^{phys}(x)$。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

參考文獻

• Arfken, Mathematical Methods for Physicists
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
• Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
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• Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部链接

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