梅西纳-珀拉泽克多项式

Meixner-Pollaczek Polynomials animation

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梅西纳-珀拉泽克多项式是一个以超几何函数定义的正交多项式。

$P_n^{(\lambda )}(x;\varphi )=\frac{(2\lambda {)}_n}{n!}{e}^{in\varphi }{}_2{F}_1(-n,\lambda +ix;2\lambda ;1-e^{-2i\varphi })$

$P_n^{\lambda }(\cos \varphi ;a,b)=\frac{(2\lambda {)}_n}{n!}{e}^{in\varphi }{}_2{F}_1(-n,\lambda +i(a\cos \varphi +b)/\sin \varphi ;2\lambda ;1-e^{-2i\varphi })$

正交性

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_n^{(\lambda )}(x;\varphi )P_m^{(\lambda )}(x;\varphi )w(x;\lambda ,\varphi )dx=\frac{2\pi \mathrm{\Gamma }(n+2\lambda )}{(2\sin \varphi {)}^{2\lambda }n!}{\delta }_{mn}$

极限关系

连续双哈恩多项式→梅西纳-珀拉泽克多项式

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n((x-t{)}^2;\lambda +it,\lambda -it,tcos\varphi }{t^{n}N!}=\frac{P_n^{(\lambda )}(x;\varphi }{(sin\varphi {)}^n}$

连续哈恩多项式→梅西纳-珀拉泽克多项式

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n((x+t);\lambda +it,tan\varphi ,\lambda -it,ttan\varphi }{t^{n}N!}=\frac{P_n^{(\lambda )}(x;\varphi }{(cos\varphi {)}^n}$

梅西纳-珀拉泽克多项式→拉盖尔多项式

梅西纳-珀拉泽克多项式→埃尔米特多项式

参考文献

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