哈恩多项式

来自testwiki
跳转到导航 跳转到搜索

Template:NoteTA

哈恩多项式

哈恩多项式（Hahn polynomials）是一个以德国数学家Wolfgang Hahn命名的正交多项式，由下列广义超几何函数定义：[1]


Qn(x;α,β,N)=3F2(−n,−x,n+α+β+1;α+1,−N+1;1). 

前几个哈恩多项式为

h[5]:=1+27*x/(−4*α−4)+3*x*α/(−4*α−4)+270*x2/((−4*α−4)*(−3*α−6))+57*x2*α/((−4*α−4)*(−3*α−6))−270*x/((−4*α−4)*(−3*α−6))−57*x*α/((−4*α−4)*(−3*α−6))+3*x2*α2/((−4*α−4)*(−3*α−6))−3*x*α2/((−4*α−4)*(−3*α−6))+990*x3/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+299*x3*α/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))−2970*x2/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))−897*x2*α/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+30*x3*α2/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))−90*x2*α2/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+1980*x/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+598*x*α/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+60*x*α2/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+x3*α3/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))−3*x2*α3/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))+2*x*α3/((−4*α−4)*(−3*α−6)*(−2*α−6))h[6]:=1+27*x/(−5*α−5)+3*x*α/(−5*α−5)+270*x2/((−5*α−5)*(−4*α−8))+57*x2*α/((−5*α−5)*(−4*α−8))−270*x/((−5*α−5)*(−4*α−8))−57*x*α/((−5*α−5)*(−4*α−8))+3*x2*α2/((−5*α−5)*(−4*α−8))−3*x*α2/((−5*α−5)*(−4*α−8))+990*x3/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+299*x3*α/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))−2970*x2/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))−897*x2*α/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+30*x3*α2/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))−90*x2*α2/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+1980*x/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+598*x*α/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+60*x*α2/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+x3*α3/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))−3*x2*α3/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9))+2*x*α3/((−5*α−5)*(−4*α−8)*(−3*α−9)).

正交性

对于α > -1 和 β > -1 以及 α < -N β < -N,下列正交关系成立[2]

∑x=0N(α+xx)(β+N−xN−x))*Qm(x;α,β,N)Qn(x;α,β,N)=(1)n(n+α+β+1)N+1(β+1)n*n!2n+α+β+1)(α+1)n*(−N)n*N!*δmn

归递关系

哈恩多项式满足下列归递关系[3] −x*Qn(x)=An*Qn+1(x)-(An+Cn)*Qn(x)*Cn*Qn−1(x)

其中Qn(x)=Qn(x;α,β,N)

极限关系

拉卡多项式→哈恩多项式[4]
limδ→∞Rn(λ(x);α,β,−N−1,δ)=Qn(x;α,β,N),
哈恩多项式→雅可比多项式

limN→∞Qn(Nx;α,β,N)=Pn(α,β)(1−2x)Pn(α,β)(1)

参考文献

  1. ↑ Template:Harvs
  2. ↑ Roelof Koekoek, p204
  3. ↑ Roelof KoeKoek p204
  4. ↑ Roelof,p206-207
  • Roelof Koekoek, Peter A.Lesky,ReneF.Swarttouw,Hypergeometric Orthogonal Polynomials ad Their q=Aalogues, Springer,2008.
检索自“https://zh.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=哈恩多项式&oldid=8921”