雅可比多项式

Template:NoteTA Template:For 在数学中，雅可比多项式 （Template:Lang-en，有时也被称为超几何多项式）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。

定义

雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的：

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{(α + 1)_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 1 + α + β + n; α + 1; \frac{1 - z}{2}),

其中的 $(α + 1)_{n}$ 是阶乘幂符号（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun p561 Template:Wayback）因此实际上的表达式是：

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{z - 1}{2})}^{m},

当z等于1的时候，上式中的无穷级数只有第一项非零，这时得到：

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n}) .

这里对于每一个整数 $n$

(\binom{z}{n}) = \frac{Γ (z + 1)}{Γ (n + 1) Γ (z - n + 1)},

而 $Γ (z)$ 是通常定义的伽马函数，其中约定，当整数n为小于零的时候：

(\binom{z}{n}) = 0

这个多项式列满足正交性条件：

\int_{- 1}^{1} (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m}

其中 $α > - 1$ 而且 $β > - 1$ 。

这个多项式列还满足对称性的关系：

P_{n}^{(α, β)} (- z) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (z);

因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值：

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n}) .

对于实数 $x$ ，雅可比多项式也可以写成另一种形式：

P_{n}^{(α, β)} (x) = \sum_{s} (\binom{n + α}{s}) (\binom{n + β}{n - s}) {(\frac{x - 1}{2})}^{n - s} {(\frac{x + 1}{2})}^{s}

其中 $s \geq 0$ 并且 $n - s \geq 0$ 。

有一个特殊的情形，是当以下四个量： $n$ 、 $n + α$ 、 $n + β$ 以及 $n + α + β$ 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式：

P_{n}^{(α, β)} (x) = (n + α)! (n + β)! \sum_{s} {[s! (n + α - s)! (β + s)! (n - s)!]}^{- 1} {(\frac{x - 1}{2})}^{n - s} {(\frac{x + 1}{2})}^{s} .

其中 $s$ 的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数 $s$ 求和。

在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵 $d_{m^{'} m}^{j} (ϕ)$ （ $0 \leq ϕ \leq 4 π$ ）可以写成用雅可比多项式表达的形式^[1]：

d_{m^{'} m}^{j} (ϕ) = {[\frac{(j + m)! (j - m)!}{(j + m^{'})! (j - m^{'})!}]}^{1 / 2} {(\sin \frac{ϕ}{2})}^{m - m^{'}} {(\cos \frac{ϕ}{2})}^{m + m^{'}} P_{j - m}^{(m - m^{'}, m + m^{'})} (\cos ϕ) .

身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微（可导）的函数。雅可比多项式的第k次导函数为：

\frac{d^{k}}{d z^{k}} P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + β + n + 1 + k)}{2^{k} Γ (α + β + n + 1)} P_{n - k}^{(α + k, β + k)} (z) .

雅可比多项式 $P_{n}^{(α, β)}$ 是以下的二阶齐次线性常微分方程的解：

(1 - x^{2}) y^{″} + (β - α - (α + β + 2) x) y^{'} + n (n + α + β + 1) y = 0 .

↑ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 Template:Wayback", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, -{R|http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm}- Template:Wayback .
Template:Citation
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials Template:Wayback", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255