切比雪夫多项式

Template:NoteTA 切比雪夫多项式（Template:Lang-en）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号T_n表示， 第二类切比雪夫多项式用U_n表示。切比雪夫多项式 T_n 或 U_n 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程：

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0$

和

$(1-x^2)y^{″}-3x{y}^{\prime }+n(n+2)y=0$

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

定义

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$

也可以用母函数表示

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

$U_0(x)=1$

$U_1(x)=2x$

$U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).$

此时母函数为

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2}.$

从三角函数定义

切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

$T_n(\cos (\theta ))=\cos (n\theta )$

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta$ 是关于 $\cos \theta$ 的 n次多项式，这个事实可以这么看： $\cos n\theta$是:$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=e^{in\theta }=\cos (n\theta )+i\sin n\theta$的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含$\sin \theta$的项中，$\sin \theta$都是偶数次的，从而可以表示成 $1-{\cos }^2\theta$的幂 。

用显式来表示

$T_n(x)=\{\begin{array}{cc}\cos (n\arccos (x)),& x\in [-1,1]\\ \cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)),& x\ge 1\\ (-1{)}^n\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(-x)),& x\le -1\end{array}$

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

$\begin{array}{ccc}{T}_n(x)& =& \cos (n\arccos (x))\\ & =& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x))\end{array},\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

类似，第二类切比雪夫多项式满足

$U_n(\cos (\theta ))=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }.$

以佩尔方程定义

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

$T_i^2-(x^2-1)U_{i-1}^2=1$

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

$T_i+U_{i-1}\sqrt{x^2-1}=(x+\sqrt{x^2-1}{)}^i.$

递归公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

$T_0(x)=1$

$U_{-1}(x)=1$

$T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

$U_n(x)=x{U}_{n-1}(x)+T_n(x)$

证明的方式是在下列三角关系式中用$\cos \vartheta$ 代替$x$

$T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )=$$\cos ((n+1)\vartheta )=$$\cos (n\vartheta )\cos \vartheta -\sin (n\vartheta )\sin \vartheta =$$T_n(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta ){\sin }^2\vartheta =$$x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

正交性

T_n 和U_n 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

即:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi & :n=m=0\\ \pi /2& :n=m\ne 0\end{array}$

可先令x= cos(θ) 利用 T_n (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

$\sqrt{1-x^2}$

即:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi /2& :n=m\end{array}$

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

基本性质

对每个非负整数$n$， $T_n(x)$ 和 $U_n(x)$ 都为 $n$次多项式。 并且当$n$为偶（奇）数时，它们是关于$x$ 的偶（奇）函数， 在写成关于$x$的多项式时只有偶（奇）次项。

$n\ge 1$时，$T_n$ 的最高次项系数为 $2^{n-1}$ ，$n=0$时系数为$1$ 。

最小零偏差

对$n\ge 1$，在所有最高次项系数为1的$n$次多项式中 ， $f(x)=\frac{1}{2^{n-1}}{T}_n(x)$ 对零的偏差最小，即它是使得$f(x)$在$[-1,1]$ 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为$\frac{1}{2^{n-1}}$ ， 分别在$-1$ 、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n-1$ 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

$\frac{d}{dx}{T}_n(x)=n{U}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,\dots$

$T_n(x)=\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

$T_n(x)=U_n(x)-x{U}_{n-1}(x).$

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

$2T_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}{T}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{d}{dx}{T}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,2,\dots$

例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ T₅.

前几个第一类切比雪夫多项式是

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$

$T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x$

$T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$

$T_9(x)=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x.$

前六个第二类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ U₅. 虽然图像中无法显示,我们实际有 U_n(1)=n+1 以及 U_n(-1)=(n+1)(-1)ⁿ.

前几个第二类切比雪夫多项式是

$U_0(x)=1$

$U_1(x)=2x$

$U_2(x)=4x^2-1$

$U_3(x)=8x^3-4x$

$U_4(x)=16x^4-12x^2+1$

$U_5(x)=32x^5-32x^3+6x$

$U_6(x)=64x^6-80x^4+24x^2-1.$

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

${T_n}^{\prime }(1)=n^2$

${T_n}^{\prime }(-1)=-(-1{)}^n*n^2$

${T_n}^{″}(1)=(n^4-n^2)/3$

${T_n}^{″}(-1)=(-1{)}^n*(n^4-n^2)/3$

按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

$p(x)=\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n(x)$

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 Template:Link-en ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出T_n 的n个根分别是：

$x_i=\cos \left(\frac{2i-1}{2n}\pi \right)\text{ , }i=1,\dots ,n.$

类似地， U_n 的n个根分别是：

$x_i=\cos \left(\frac{i}{n+1}\pi \right)\text{ , }i=1,\dots ,n.$

参看

• Template:Link-en
• 切比雪夫滤波器

参考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.