级数

级数（Template:Lang-en）代表某序列之和，例如序列$a_1,a_2,a_3,a_4,\dots$的級數$S_n$可以表示成$S_n=a_1+\dots +a_n$，如果被取和的序列是有穷序列，相對應的級數被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。

級數本身也是一種序列（代表加到第$n$項）。就跟普通序列一樣，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定義相應級數，前提是必須要有加法（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。

如果某级数來自於對常數序列取和，则称之为常数（项）级数，如果來自於函数序列，则称之为函数（项）级数。

无穷级数不像有穷级数可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於无穷大來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數$S_n$取极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n$。如果這個極限存在，會仿造数列极限，將這個无穷级数稱為收斂的（Template:Lang）；反之稱為發散的（Template:Lang）。（而且要能定義極限還需要距離來比較遠近）

正式定義

也就是說，只要 $A$ 上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在 $A$ 的序列${\{a_i\in A\}}_{i\in \mathbb{N}}$都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列${\{s_n\in A\}}_{n\in \mathbb{N}}$。也就是說，一般會將 $\circ$ 視為加法「$+$」 ，而將$s_n$更加直觀的記為：

$s_n=a_1+\dots +a_n$

然後把$s_n$直觀地稱為部分和。

通常會做以下的符號定義：

$\sum _{j=1}^n{a}_j:=s_n$

而將　${\{s_n\in A\}}_{n\in \mathbb{N}}$　記為　${\left\{\sum _{j=1}^n{a}_j\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$甚至是更直觀的 $\sum _{j=1}^n{a}_j$

有窮級數

以上定義的級數，在直觀上被理解成「無窮級數」（Template:Lang）；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數 $m\in \mathbb{N}$ 開始，只要正整數 $i\ge m$ 就有 $a_i=0_A$ （$(A,\circ )$的單位元，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」（Template:Lang），事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項 $m\in \mathbb{N}$ 開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 $\sum _{j=1}^m{a}_j$。

无穷级数的敛散性

对于级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$，如果当$n$趋于正无穷大时，$s_n$趋向一个有限的极限：$s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，$s$叫做级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和$s$。这时可以定义级数$\sum u_n$的余项和：$R_n=S-S_n$。

任意项级数

如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$中的各项可以是正数，负数或零，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$称为任意项级数。 将任意项级数各项$u_n$取绝对值，得到正项级数。 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|=|u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots +|u_n|+\cdots$

条件收敛

如果任意项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛，而级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$发散，则称级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$条件收敛。

绝对收敛

如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$的各项的绝对值所组成的正项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛。

证明：

令 $a_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n),b_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)$ 于是，有 $0\le a_n\le |u_n|,0\le b_n\le |u_n|$ 因为$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$,$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$均为正项级数，且$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$收敛，由比较审敛法知，级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$和$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$收敛。 又因为$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-b_n)$,所以由级数的定义可得，级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛。 该定理表明，如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$绝对收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$必收敛。

收敛级数的性质

• 若一个无穷级数$\sum u_n:u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots$收敛，其和为$s$，则如果每一项乘以一个常数$a$，得到的级数$\sum a{u}_n:a{u}_1+a{u}_2+a{u}_3+\cdots +a{u}_n+\cdots$也收敛，且和等于as。

• 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=s$和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n=t$，则

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n\pm v_n)=s\pm t$.

• 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

$s=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots$和 $s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots +u_n+\cdots$

这两个级数的敛散性是一样的。

• 当$n$趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=0$

• 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛的充要条件是，对任意$ϵ>0$ ，总存在$N_0>0$，使得任意的$n>m>N_0$，$|s_n-s_m|=|\sum _{k=m+1}^n{u}_k|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_n|<ϵ$。

无穷级数的研究历史

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

对审敛法的研究

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

$1+\frac{\alpha \beta }{1\cdot \gamma }x+\frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}{x}^2+\cdots$

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

$1+\frac{m}{1}x+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots$

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

对一致连续性的研究

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

类别

更多級數請參見級數列表。

几何级数

Template:Main 几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=2$

一般来说，几何级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$收敛当且仅当$\left|z\right|<1$。

调和级数

调和级数是指通项为$\frac{1}{n}$的级数：

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

它是发散的。

$p$-级数

$p$-级数是指通项为$\frac{1}{n^p}$的级数：

$U_p=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

对于实数值的$p$，当$p>1$时收敛，当$p\le 1$时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数$\zeta :p\mapsto U_p$是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼$\zeta$函數有著名的黎曼猜想。 特別地，當$p=1$時，$p$-級數即為調和級數。

裂项级数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b_n-b_{n+1})$

收敛当且仅当数列$b_n$收敛到某个极限$L$，并且这时级数的和是$b_1-L$。

泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数$f$在一点$a$附近取值的级数。泰勒函数由函数在点$a$的各阶导数值构成，具体形式为：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

这是一个幂级数。如果它在$a$附近收敛，那么就称函数$f$在点$a$上是解析的。

交错级数

具有以下形式的级数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

其中所有的$a_n$非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

幂级数

Template:Main 形同$\sum a_n(x-x_0{)}^n$的函数项无穷级数称为$x-x_0$的幂级数。它的收敛与否和系数$a_n$有关。

傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为$2\pi$的周期函数$f(x)$可以表示为：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),n=1,2,3,\dots$

其中，$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx$，$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx$，特别的，$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx$

常数项无穷级数审敛法

正项级数

若通项为实数的无穷级数$\sum u_n$每一项$u_n$都大于等于零，则称$\sum u_n$是一正项级数。

如果无穷级数 $\sum u_n$ 是正项级数，则部分和$S_n$是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列S_n有界，$\sum u_n$收敛，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=s$ ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

比较判别法

设$\sum u_n$ 和 $\sum v_n$是正项级数。

如果存在正实数$M$，使得从若干项开始，$u_n\le M{v}_n$（也就是说$u_n=O_{\mathrm{\infty }}(v_n)$），则

• 当$\sum v_n$ 收敛时，可推出 $\sum u_n$ 也收敛。
• 当$\sum u_n$ 发散时，可推出 $\sum v_n$ 也发散。

如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$，则

• 当$\sum v_n$ 收敛时，可推出 $\sum u_n$ 也收敛。
• 当$\sum u_n$ 发散时，可推出 $\sum v_n$ 也发散。

如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=1$或其它有限数，则$\sum v_n$ 和$\sum u_n$ 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：$\sum \frac{1}{n^2}$收敛，则级数：$\sum \frac{|\sin n|}{n^2}$也收敛，因为对任意的$n$，$\sin n\le 1$。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：$U_p=\sum \frac{1}{n^p}$作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当$p\le 1$时，$U_p$发散，当$p>1$时，$U_p$收敛。

达朗贝尔判别法

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设$\sum u_n$是通项大于零的正项级数。并且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=p$，则

• 当$p<1$ 时，级数$\sum u_n$收敛。
• 当$p>1$ 时，级数$\sum u_n$发散。
• 当$p=1$ 时，级数$\sum u_n$可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

柯西收敛准则

设 $\sum u_n$ 是正项级数。并且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{u_n}=p$，则

• 当$p<1$时，级数 $\sum u_n$ 收敛。
• 当$p>1$时，级数 $\sum u_n$ 发散。
• 当$p=1$时，级数 $\sum u_n$ 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

交错级数

具有以下形式的级数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

其中所有的$a_n$非负，被称作交错级数。

莱布尼茨判别法

在上述的级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$中，如果当$n$趋于无穷时, 数列$a_n$的极限存在且等于 0，并且每个$a_n$小于$a_{n-1}$（即, 数列$a_n$是单调递减的），那么级数收敛。

任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数$\sum u_n$，将级数$\sum |u_n|$称为它的绝对值级数。可以证明，如果$\sum |u_n|$收敛，那么 $\sum u_n$也收敛，这时称 $\sum u_n$绝对收敛。如果$\sum u_n$收敛，但是$\sum |u_n|$发散，则称$\sum u_n$条件收敛。比如说，级数$\sum \frac{\sin n}{n^2}$绝对收敛，因为前面已经证明 $\sum \frac{|\sin n|}{n^2}$收敛。而级数$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$是条件收敛的。它自身收敛到$\ln \frac{1}{2}$，但是它的绝对值级数$\sum \frac{1}{n}$是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数$\sum u_n$条件收敛，那么对于任意的实数$x$，存在一个正整数到正整数的双射$\sigma$，使得级数$\sum u_{\sigma (n)}$收敛到 $x$。对于正负无穷大，上述双射也存在。

函数项级数

设$(u_n(x){)}_{n\ge 0}$为定义在区间$ℐ$上的函数列，则表达式：$u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)+\cdots$称为函数项级数，简记为$\sum u_n(x)$。对函数项级数的主要研究是：

1. 确定对哪些$x$，$\sum u_n(x)$收敛。
2. $\sum u_n(x)$收敛的话，其和是什么，有什么性质？

收敛域

对区间$ℐ$上的每个 $x_0$，级数 $\sum u_n(x_0)$是常数项级数。若 $\sum u_n(x_0)$收敛，则称$x_0$是$\sum u_n(x)$的一个收敛点，$\sum u_n(x)$全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 $\sum u_n(x_0)$发散，则称$x_0$是$\sum u_n(x)$的一个发散点，$\sum u_n(x)$全体发散点的集合称为它的发散域。$\sum u_n(x)$在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为$\sum u_n(x)$的和函数，记为$S(x)$。按照定义，$S(x_0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(x_0)$，其中$S_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots +u_n(x_0)$为函数项级数在$x_0$点上的部分和。

一致收敛

Template:Main 函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数$\sum u_n(x)$中的每一项$u_n(x)$在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设$u_n(x)=x^n-x^{n+1}$，也就是说$u_0(x)=1-x$，$u_1(x)=x-x^2$等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在$x$ 点上的部分和$S_n(x)=\sum _{k=0}^n(x^k-x^{k+1})=1-x^{n+1}$。在区间$[0,1]$的每一点上，部分和都有极限：

当$x\ne 1$时，$S_n(x)\to 1$

当$x=1$时，$S_n(x)\to 0$

于是在区间$[0,1]$上，级数$\sum u_n(x)$ 收敛，其和函数$S(x)$为：

当$0\le x<1$时，$S(x)=1$；$S(1)=0$。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数$\sum u_n(x)$在某个区间$ℐ$内（关于某个范数$\Vert \cdot \Vert$）一致收敛的定义是它的部分和函数$S_n$ 在区间$ℐ$上一致收敛到和函数$S$，

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\Vert S-S_n\Vert }_{ℐ}=0$

或者写成$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\Vert \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{u}_k\Vert }_{ℐ}=0$

可以证明： Template:Quote

进一步的，如果导函数级数的每一项都是${𝒞}^p$函数（$p$阶连续可微函数），并且各阶导函数级数$\sum u_n(x),\sum u_n^{(1)}(x),\sum u_n^{(2)}(x),\dots ,\sum u_n^{(p)}(x)$在区间$ℐ$内都一致收敛，那么级数和函数$S(x)=\sum u_n(x)$ 也是${𝒞}^p$函数，并且：

$\mathrm{\forall }0\le i\le p$ ，$S^{(i)}(x)=\sum u_n^{(i)}(x)$。

绝对收敛

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间$ℐ$和范数${\Vert \cdot \Vert }_{ℐ}$，函数项级数$\sum u_n(x)$在区间$ℐ$内绝对收敛，当且仅当常数级数$\sum {\Vert u_n\Vert }_{ℐ}$收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间$ℐ$内一致收敛。Template:Fact

幂级数

形同$\sum a_n(x-x_0{)}^n$的函数项无穷级数称为$x-x_0$的幂级数。一般只需讨论形同$\sum a_n{x}^n$的幂级数。

幂函数的收敛域

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为$(-R,R)$（可开可闭）的形式。这个正数$R$（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数$\sum a_n{x}^n$满足$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$，则：

• $\rho$是正实数时，$R=\frac{1}{\rho }$。
• $\rho =0$时，$R=\mathrm{\infty }$。
• $\rho =\mathrm{\infty }$时，$R=0$。

幂级数的和函数

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

渐进级数

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。

推广

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

参见

• 收敛
• 发散级数
• Template:Link-en
• 级数展开
• 求和变换
• 阿贝尔定理
• 黎曼级数定理
• 柯西-阿达马公式

参考文献

参考书目

• Template:Cite book
• Template:Cite book