范数

拥有不同范数的單位圓

范数（Template:Lang-en），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（Template:Lang-en）可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间 ${ℝ}^2$ 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：$(3,7)$）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

定义

假设 $V$ 是域 $𝔽$ 上的向量空间；$V$ 的半范数是一个函数 $p:V\to ℝ;x\mapsto p(x)$，满足：

$\mathrm{\forall }a\in 𝔽,\mathrm{\forall }u,v\in V$,

1. $p(v)\ge 0$（具有半正定性）
2. $p(av)=|a|p(v)$（具有绝对一次齐次性）
3. $p(u+v)\le p(u)+p(v)$（满足三角不等式，或称次可加性）

范数是一个半范数加上额外性质：

4. $p(v)=0$，当且仅当 $v$ 是零向量（正定性）

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

例子

• 所有范数都是半范数。
• 平凡半范数，即 $p(x)=0,\mathrm{\forall }x\in V$。
• 绝对值是实数集上的一个范数。
• 对向量空间上的次线性型 $f$ 可定义一个半范数：$𝒙\to |f(𝒙)|$。

绝对值范数

绝对值范数为

$\Vert 𝒙\Vert =\sum _i^n|x_i|$

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里得范数

Template:Main 在 $n$ 维欧几里得空间 ${ℝ}^n$ 上，向量 $𝒙=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 的最符合直觉的长度由以下公式给出

$\Vert 𝒙{\Vert }_2:=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.$

根据勾股定理，它给出了从原点到点 $𝒙$ 之间的（通常意义下的）距离。欧几里得范数是 ${ℝ}^n$ 上最常用的范数，但正如下面举出的，${ℝ}^n$ 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个 $n$ 维复数空间 ${ℂ}^n$ 中，最常见的范数是：

$\Vert 𝒛\Vert :=\sqrt{|z_1{|}^2+\cdots +|z_n{|}^2}=\sqrt{z_1{\overline{z}}_1+\cdots +z_n{\overline{z}}_n}.$

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

$\Vert 𝒙\Vert :=\sqrt{{𝒙}^{*}𝒙},$

其中 $𝒙$ 是一个列向量（$[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{T}}$），而 ${𝒙}^{*}$ 表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

$\Vert 𝒙\Vert :=\sqrt{𝒙\cdot 𝒙}.$

特别地，${ℝ}^{n+1}$ 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个 n 维球面。

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面 ${ℝ}^2$，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把 $x+iy$ 视为欧几里得平面上的一个向量(稱等距同構)，由此，这个向量的欧几里得范数即为 $\sqrt{x^2+y^2}$（最初由欧拉提出）。

参见

• 内积
• 赋范向量空间
• 矩阵范数
• 曼哈顿距离
• Lp 范数

参考文献

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