等比数列

Template:NoteTA Template:Not 等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（Template:Lang-en）。

例如数列：

$3,6,12,24,48,96,...$

就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于$2$。

性質

如果一个等比数列的首项記作$a$，公比記作$r$，那么该等比数列第$n$项$a_n$的一般項为：

$a_n=a{r}^{n-1}$

換句話說，任意一個等比数列$\{a_n\}$都可以寫成

$\{a,ar,a{r}^2,\cdots ,a{r}^{n-1}\}$

在一個等比數列中，給定任意兩相連項$a_{n+1}$和$a_n$（其中$a_n\ne 0$），可知公比

$r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

給定任意兩項$a_m$和$a_n$，則有公比

$r=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}$

這裡注意，若$m-n$是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，$a_1\times a_3={a_2}^2$。

更一般地說，有：

$a_{n-1}\times a_{n+1}={a_n}^2$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{a}_{n-1}\times a_{n+1}& =a{r}^{n-2}\times a{r}^n\\ & =a^2\times r^{2n-2}\\ & =(a{r}^{n-1}{)}^2\\ & ={a_n}^2\\ \end{array}$

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均：

$a_n=\pm \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

此結果從上面直接可得。

如果有整數$m,n,p,q$，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{a}_m\cdot a_n& =a{r}^{m-1}\cdot a{r}^{n-1}\\ & =a^2{r}^{m+n-2}\\ & =a^2{r}^{p+q-2}\\ & =a{r}^{p-1}\cdot a{r}^{q-1}\\ & =a_p\cdot a_q\\ \end{array}$

由此可將上面的性質一般化成：

$a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_n}^2$

$a_n=\pm \sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}$

其中$k$是一個小於$n$的正整數。

給定一個等比數列 $\{a_n\}$，則有：

• $\{b\cdot a_n\}$ 是一個等比數列。
• $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一個等比數列。
• $\{{\log }_b(a_n)\}$ 是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

$a_n=p{q}^n$

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比$r=q$，首項$a=pq$。

公比

公比（Template:Lang-en）是对于等比数列这一特殊数列而言的，它是指在等比数列中后一项与前一项的商。

等比数列的通项公式

等比数列都满足：$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$。例如，数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0（因為$N÷0$），否则為未定义。

等比数列和

一個等比數列的首$n$項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作$S_n$。

舉例來說，等比數列$\{1,2,4,8\}$的和是$1+2+4+8=15$。

等比數列求和的公式如下：

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

其中$a$為首項，$n$為項數，$r$為公比，且$r\ne 1$。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：

$S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$ ……(1)

将两边同乘以公比 Template:Math，有：

$r{S}_n=ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^n$ ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

$(1-r)S_n=a-a{r}^n$

当$r\ne 1$时，整理後得證。

當$r=1$時，可以发现：

$\begin{array}{cc}{S}_n& =a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}\\ & =\begin{array}{c}\underbrace{a+a+a+\cdots +a}\\ n\end{array}\\ & =n\times a\\ & =an\\ \end{array}$

综上所述，等比数列的求和公式为：

$S_n=\{\begin{array}{cc}\frac{a(1-r^n)}{1-r}& r\ne 1\\ an& r=1\end{array}$

當$-1<r<1$時，注意到

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}^n=0$

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

由此可見，當$-1<r<1$時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比数列积

一個等比數列的首$n$項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作$P_n$。

舉例來說，等比數列$\{1,2,4,8\}$的積是$1\times 2\times 4\times 8=64$。

等比數列求積的公式如下：

$P_n=a^n\cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{P}_n& =a\cdot ar\cdot a{r}^2\cdot \cdots \cdot a{r}^{n-1}\\ & =a^n\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\ & =a^n\cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ \end{array}$

第二步，公比$r$的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為$n-1$。

参见

• 序列
• 數列
• 級數
• 幾何級數
• 幾何平均
• 等差數列
• 等諧數列
• 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. -{R|https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/}- Template:Wayback.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html}- Template:Wayback.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html}- Template:Wayback.