条件收敛

条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。

详细定义

条件收敛的级数

给定一个实数项无穷级数$A=\sum _n{a}_n$，如果它自身收敛于一个定值$C\in ℝ$：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=C,$

但由每一项的绝对值构成的正项级数：$A_s=\sum _n|a_n|$不收敛：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|=\mathrm{\infty },$

那么就称这个无穷级数$A=\sum _n{a}_n$是一个条件收敛的无穷级数。Template:R

条件收敛的广义积分

给定一个在区间$[a,\mathrm{\infty })$上有定义的函数$f(x)$，如果$f(x)$在任意的闭区间$[a,b]$上都可积，并且广义积分：

$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

收敛，而函数绝对值的广义积分：

$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$

发散，那么就称广义积分$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$条件收敛。Template:R

例子

无穷级数

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

$A_h=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\sum _n\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

它收敛到定值：$\ln 2$，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：$H=\sum _n\left|\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right|=\sum _n\frac{1}{n}$叫做调和级数，是发散的。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\mathrm{\infty }.$

广义积分

条件收敛的广义积分的一个例子是函数：$\frac{\sin x}{x}$在正实数轴上的积分：

$I=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$

任取实数$a>1$，运用分部积分法可以得到：

$\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\cos 1-\frac{\cos a}{a}-\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x$

而对任意的正实数$A,B>1$：

$\left|\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x\right|⩽\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{|\cos x|}{x^2}\mathrm{d}x⩽\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x⩽\frac{1}{A}$

由柯西收敛原理可知广义积分$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x$收敛，所以

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\cos 1-\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\cos a}{a}-\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x=\cos 1-\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x$

即积分：$I=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$收敛。但是，绝对值函数的积分：$I_s=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm{d}x$不收敛。这是因为对任意自然数$k$，积分：

$I_k=\underset{k\pi }{\overset{(k+1)\pi }{\int }}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm{d}x⩾\underset{k\pi }{\overset{(k+1)\pi }{\int }}\frac{|\sin x|}{(k+1)\pi }\mathrm{d}x=\frac{2}{(k+1)\pi }=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{k+1}$

所以

$I_s=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm{d}x⩾\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{I}_k⩾\frac{2}{\pi }\cdot \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k+1}=+\mathrm{\infty }$

因此，积分$I=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$是条件收敛的。Template:R

相关定理

• 黎曼级数定理：假设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数$C$，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列$\sigma :n\mapsto \sigma (n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一种排列${\sigma }^{\prime }:n\mapsto {\sigma }^{\prime }(n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{{\sigma }^{\prime }(n)}=\mathrm{\infty }.$

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于$-\mathrm{\infty }$，或没有任何极限。Template:R

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。Template:R

参见

• 无条件收敛
• 绝对收敛