一致收斂

Template:NoteTA 均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（Template:Lang-en），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 Template:Math 一致收斂至函數 Template:Math，代表對所有定義域中的點 Template:Math，Template:Math 收斂至 Template:Math 會有（大致）相同的收斂速度Template:Notetag。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。

定義

當函數序列中的函數的對應域是 $ℝ$ 或 $ℂ$ 時，此時均勻收歛的定義為：

讓 $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 是定義在 $S$ 上，對應域為 $ℝ$ 或 $ℂ$的一組函數序列，若序列 $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 均勻收歛至函數 $f$ 在集合 $S$ 上，即表示對所有 $ϵ>0$，存在 $N\in \mathbb{N}$，使得當所有 $n\ge N$ 且 $x\in S$ 時有

$|f_n(x)-f(x)|<ϵ.$

可將這定義推廣到一般的度量空間：

設 $S$ 為一集合，$(M,d)$ 為度量空間。若對一組函數序列 $f_n:S\to M$，存在函數 $f:S\to M$ 滿足 對所有 $ϵ>0$，存在 $N\in \mathbb{N}$，使得當所有 $n\ge N$ 且 $x\in S$ 時有

$d(f_n(x),f(x))<ϵ,$

則稱序列 $f_n$ 一致收斂到 $f$。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 $N$的選取仅与 $ϵ$ 相关，而在逐点收敛中 $N$ 还多了与點 $x$ 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子

在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一：對任何$[0,1]$上的連續函數$f$，考慮多項式序列

$P_n(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}$

可證明$P_n$在區間$[0,1]$上一致收斂到函數$f$。其中的$b_{k,n}(x):=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}$稱為伯恩斯坦多項式。

透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二：考慮區間$[0,\pi ]$上的函數序列$f_n(x):={\sin }^n(x)$，它逐點收斂到函數

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& ,x\ne \pi /2\\ 1& ,x=\pi /2\end{array}$

然而這並非一致收斂。直觀地想像：當$x$愈靠近$\pi /2$，使$f_n(x)$接近$0$所需的$n$便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中$f_n(x)$皆連續，而$f(x)$不連續。

性質

讓 $(f_n)$ 為一組函數序列，對應域為 $ℝ$ 或 $ℂ$，此時有下述性質：

• 連續性：若函數序列 $(f_n)$ 均勻收歛至函數 $f$，則有：

1. 假設函數序列的定義域是闭包（closure）集合 $I$，且 $a$ 是 $I$ 的中的一點。若每個 $f_n$ 都在 $a$ 點連續，則 $f$ 也在 $a$ 點連續。
2. 若对集合 $I$ 的每個緊緻子集 $J$，每個 $f_n$ 都在 $J$ 上連續，則 $f$ 在 $I$ 上連續。

• 與積分的交換：令 $(f_n)$ 為定義在緊緻區間 $I$ 的函數序列，且序列 $(f_n)$ 均勻收歛至函數 $f$。若每個 $f_n$ 都是黎曼可積，則 $f$ 也是黎曼可積，而且

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}x=\underset{S}{\int }f\mathrm{d}x.$Template:Notetag

• 與微分的交換：可微函數序列 $(f_n)$ 均勻收歛至函數 $f$，並不能保證 $f$ 是可微的，還需要對該函數序列的微分，$(f{\text{'}}_n)$，做些限制，請參看以下定理：

讓 $(f_n)$ 為定義在閉區間 $[a,b]$ 的可微函數序列，且存在一點 $x_0\in [a,b]$ 使得極限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x_0)$ 存在（且有限）。若序列的微分 $(f{\text{'}}_n)$ 在區間 $[a,b]$ 一致收斂到函數 $g$，則序列 $(f_n)$ 均勻收歛至函數 $f$ 且 $f$ 亦是可微函數，且有：

$f^{\prime }=g=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f{\text{'}}_n$。

文獻

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X