幂级数

蓝色曲线是指数函数，红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前n+1项和的曲线

在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n$

$=a_0+a_1(x-c{)}^1+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$

其中的c和$a_0,a_1,a_2\cdots a_n\cdots$是常数。$a_0,a_1,a_2\cdots a_n\cdots$称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。

如果把$(x-c)$看成一项，那么幂级数可以化简为$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个函数写成幂级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n$的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为$\frac{1}{10}$。在p-进数中则可以见到x被固定为$10$的幂级数。

例子

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式$f(x)=x^2+2x+3$可以写成标准形式的幂级数：

$f(x)=3+2x+1x^2+0x^3+0x^4+\cdots$

也可以写成（$c=1$）：

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1{)}^2+0(x-1{)}^3+0(x-1{)}^4+\cdots$

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对$|x|<1$，有

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$

以及正弦函数（对所有实数x成立）：

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots ,$

这些幂级数都属于泰勒级数。

幂级数里不包括负的幂次。例如$1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数$a_n$必须是和x无关，比如$\sin (x)x+\sin (2x)x^2+\sin (3x)x^3+\cdots$就不是一个幂级数。

敛散性

作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

阿贝尔引理：给定一个幂级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$，如果对实数$r_0>0$，数列$(|a_n|r_0^n{)}_{n\ge 0}$ 有界，那么对任意复数$|x|<r_0$，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$绝对收敛。

证明：

如果$|x|<r_0$，那么由于数列$(|a_n|r_0^n{)}_{n\ge 0}$ 有界，存在正实数M使得对任意的n，总有$0\le |a_n|r_0^n\le M$。所以：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n{x}^n|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|a_n|r_0^n)\cdot {\left(\frac{|x|}{r_0}\right)}^n$

$\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}M\cdot {\left(\frac{|x|}{r_0}\right)}^n$

$=M\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{|x|}{r_0}\right)}^n$

正数比值$\frac{|x|}{r_0}$严格小于1，因此上面的等比级数收敛，于是$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$绝对收敛。

按照引理，使得幂级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：

1. 要么对所有的非零复数，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$都发散；
2. 要么存在一个正常数（包括正无穷）$R$，使得当$|x|<R$时，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$绝对收敛，当$|x|>R$时，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数$R$被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。

按照定义，对一个幂级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$，当$|x|<R$（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当$|x|>R$时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果$|x|=R$（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径$R$满足：如果幂级数$\sum a_n{x}^n$满足$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，则：

$\rho$是正实数时，$R=\frac{1}{\rho }$。

$\rho =0$时，$R=\mathrm{\infty }$。

$\rho =\mathrm{\infty }$时，$R=0$。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\left|a_n\right|}^{-\frac{1}{n}}$

或者$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\left|a_n\right|}^{\frac{1}{n}}$。

幂级数的运算

形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots )\pm (b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_n{x}^n+\cdots )=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots +(a_n+b_n)x^n+\cdots$

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)$

$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-c{)}^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)(x-c{)}^n$。

各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

一致收敛性

对一个收敛半径为R的幂级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数

$f:(-R,R)⟶ℝ$

$.x⟼\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

幂级数函数的求导和积分

可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$的收敛半径R。具体形式为：

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1)x^n$

$\int f(x)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{x}^{n+1}}{n+1}+k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}{x}^n}{n}+k$

函数的幂级数展开

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数R>0，使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内（不包括边界）有：

$\mathrm{\forall }z\in D(c,R),f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n$

其中$a_n$为确定的常数。

如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（$C^{\mathrm{\infty }}$），并且在这点附近的展开式是唯一的。

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$

即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。

函数的可展性

对于一般的无穷可导函数$f$，也可以写出幂级数$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n$，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于$f$。例如函数$f$：

当x>0时，$f(x)=e^{-1/x^2}$

当$x\le 0$时，$f(x)=0$

可以证明$f$无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x{)}^n$恒等于0，不等于$f$。

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零： $R_n(x)=f(x)-\sum _{n=0}^n\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n\to 0$，

一个更常用到的充分条件是： 如果存在正实数r，使得$f$在区间$(c-r,c+r)$上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的n，任意的$x\in (c-r,c+r)$都有

$|f^n(x)|\le M^n$，那么$f$可以在c附近展开成幂级数：

$\mathrm{\forall }x\in (c-r,c+r),f(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n$。

常见函数的幂级数展开

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

1. $\mathrm{\forall }x\in ℂ,e^x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$
   
   
2. $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\cos x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$
   
   
3. $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\sin x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$
   
   
4. $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{ch}x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$
   
   
5. $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{sh}x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$
   
   
6. $\mathrm{\forall }x\in D(0,1),\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n.$
   
   
7. $\mathrm{\forall }x\in (-1,1],\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}.$
   
   
8. $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\arctan x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，特别地，$\pi =4\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$。
   
   
9. $\mathrm{\forall }x\in (-1,1),\mathrm{\forall }\alpha \in ̸\mathbb{N},(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n.$
   
   
10. $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{N},(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n.$
    
    
11. $\mathrm{\forall }x\in (-1,1),\mathrm{artanh}x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$
    
    
12. $\mathrm{\forall }x\in (-1,1),\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\left(\frac{\prod _{k=1}^n(2k-1)}{\prod _{k=1}^{n}2k}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
    
    
13. $\mathrm{\forall }x\in (-1,1),\mathrm{arsinh}x=x+\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\left(\frac{\prod _{k=1}^n(2k-1)}{\prod _{k=1}^{n}2k}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
    
    
14. $\mathrm{\forall }x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\tan x=\frac{2}{\pi }\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{x}{\pi }\right)}^{2n+1}(2^{2n+2}-1)\zeta (2n+2)$，其中$\mathrm{\forall }p>1,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

幂级数与解析函数

Template:Main 局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

形式幂级数

Template:Main 在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

多元幂级数

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{j_1,\dots ,j_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{j_1,\dots ,j_n}\prod _{k=1}^n{(x_k-c_k)}^{j_k},$

其中j = (j₁, ..., j_n)是一个系数为非负整数的向量。系数a_(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c₁, ..., c_n)和变量x = (x₁, ..., x_n)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

$f(x)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{(x-c)}^{\alpha }.$

参见

• 泰勒级数
• 解析函数
• 阿贝尔定理
• 零点孤立原理

參考文獻

• 幂级数介绍
• 幂级数展开 Template:Wayback
• 幂级数与泰勒展开Template:Dead link
• Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
• Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
• John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006