级数展开

一个展示余弦函数被连续截断的麦克劳林级数逼近的动画。

在数学中，级数展开是将一个函数展开成级数，或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符（加、减、乘、除）无法表达的函数的方法。

由此产生的级数往往可以通过仅取有限项，产生近似。序列中使用的项越少，近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含大O符号的方程来描述。对于非解析函数，开放区间上的级数展开是一个近似值。

级数展开的种类

这里介绍了若干种级数展开的方式：

泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说，如果函数 $f:U\mapsto ℝ$ 在$x_0$附近是无限可微的，那么$f$在该点周围的泰勒级数为$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$，按照惯例$0^0:=1$。$f$的麦克劳林级数是其在$x_0=0$处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸，允许负指数项；它的形式是 $\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k(z-a{)}^k$并在环内收敛。

广义狄利克雷级数具有 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}$的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$。$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地，一个周期为$2L$的函数$f(t)$的傅里叶级数为：

$$a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right))$$

其中系数为：

$$a_n:=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}f(t)\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt$$$$b_n:=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}f(t)\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt.$$在声学中，基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。

斯特林公式$\text{Ln}\mathrm{\Gamma }\left(z\right)\sim (z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}$是对数Γ函数的一个近似值。

例子

下式为$e^x$的泰勒级数：

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}...$

黎曼ζ函数：

$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\cdots$