級數列表

本表 列出基本或常見的有限級數與無限級數的計算公式。

• 規定$0^0=1$；
• $B_n(x)$表示Bernoulli多項式；
• $B_n$表示Bernoulli數，其中，$B_1=-\frac{1}{2}$；
• $E_n$表示Euler數；
• $\zeta (s)$表示黎曼ζ函數；
• $\mathrm{\Gamma }(z)$表示Γ函數；
• ${\psi }_n(z)$表示多伽瑪函數；
• ${\mathrm{Li}}_s(z)$表示多重對數函數。

冪求和

參見等冪求和。

• $\sum _{k=0}^m{k}^{n-1}=\frac{B_n(m+1)-B_n}{n}$

其中，一次方項、平方項及立方項之和的公式如下︰

• $\sum _{k=1}^{m}k=\frac{m(m+1)}{2}$
• $\sum _{k=1}^m{k}^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}$
• $\sum _{k=1}^m{k}^3={\left[\frac{m(m+1)}{2}\right]}^2=\frac{m^4}{4}+\frac{m^3}{2}+\frac{m^2}{4}$

參見ζ常數.

• $\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{2n}}=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

其中，前幾項為︰

• $\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ （巴塞爾問題）
• $\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$
• $\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$

冪級數

低次數多重對數函數

有限項求和︰

• $\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$, (等比數列)
• $\sum _{k=1}^{n}k{z}^k=z\frac{1-(n+1)z^n+n{z}^{n+1}}{(1-z{)}^2}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^2{z}^k=z\frac{1+z-(n+1{)}^2{z}^n+(2n^2+2n-1)z^{n+1}-n^2{z}^{n+2}}{(1-z{)}^3}$
• $\sum _{k=1}^n{k}^m{z}^k={\left(z\frac{d}{dz}\right)}^m\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$

無限項求和，其中$|z|<1$（參見多重對數函數）︰

• ${\mathrm{Li}}_n(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^n}$

以下是遞歸計算低整數次冪的多重對數函數以得出解析解時所用到的一個性質︰

• $\frac{d}{dz}{\mathrm{Li}}_n(z)=\frac{{\mathrm{Li}}_{n-1}(z)}{z}$

前幾項分別為︰

• ${\mathrm{Li}}_1(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k}=-\ln (1-z)$
• ${\mathrm{Li}}_0(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^k=\frac{z}{1-z}$
• ${\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{z}^k=\frac{z}{(1-z{)}^2}$
• ${\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^2{z}^k=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}$
• ${\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^3{z}^k=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}$
• ${\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^4{z}^k=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}$

指數函數

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\frac{z^k}{k!}=z{e}^z$ （參見Poisson分佈的數學期望）
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2\frac{z^k}{k!}=(z+z^2)e^z$ （參見Poisson分佈的二階矩）
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^3\frac{z^k}{k!}=(z+3z^2+z^3)e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^4\frac{z^k}{k!}=(z+7z^2+6z^3+z^4)e^z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^n\frac{z^k}{k!}=z\frac{d}{dz}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^{n-1}\frac{z^k}{k!}=e^z{T}_n(z)$

其中，$T_n(z)$表示圖沙德多項式。

三角函數、反三角函數、雙曲函數及反雙曲函數

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sinh z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k)!}=\cos z$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k}}{(2k)!}=\cosh z$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\tan z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2^{2k}-1)2^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\tanh z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{2}^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\cot z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2k}{B}_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\coth z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\csc z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{-(2^{2k}-2)B_{2k}{z}^{2k-1}}{(2k)!}=\mathrm{csch}z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{z}^{2k}}{(2k)!}=\sec z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2k}{z}^{2k}}{(2k)!}=\mathrm{sech}z,|z|<\frac{\pi }{2}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{z}^{2k}}{(2k)!}=\mathrm{ver}z$（正矢）
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{z}^{2k}}{2(2k)!}=\mathrm{hav}z$（半正矢）
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!{)}^2(2k+1)}=\arcsin z,|z|\le 1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!{)}^2(2k+1)}=\mathrm{arcsinh}z,|z|\le 1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{2k+1}=\arctan z,|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\mathrm{arctanh}z,|z|<1$
• $\ln 2+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!{)}^2}=\ln (1+\sqrt{1+z^2}),|z|\le 1$

修正的分母階乘

• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!}{2^{4k}\sqrt{2}(2k)!(2k+1)!}{z}^k=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-z}}{z}},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2k}(k!{)}^2}{(k+1)(2k+1)!}{z}^{2k+2}={(\arcsin z)}^2,|z|\le 1$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{k=0}^{n-1}(4k^2+{\alpha }^2)}{(2n)!}{z}^{2n}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1{)}^2+{\alpha }^2]}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin z},|z|\le 1$

二項式係數

• $(1+z{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})z^k,|z|<1$ （參見二項式定理）
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +k-1}{k})z^k=\frac{1}{(1-z{)}^{\alpha }},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})z^k=\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z},|z|\le \frac{1}{4}$（卡塔蘭數的母函數）
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})z^k=\frac{1}{\sqrt{1-4z}},|z|<\frac{1}{4}$（中心二項式係數的母函數）
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+\alpha }{k})z^k=\frac{1}{\sqrt{1-4z}}{\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)}^{\alpha },|z|<\frac{1}{4}$

調和數

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_k{z}^k=\frac{-\ln (1-z)}{1-z},|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k+1}{z}^{k+1}=\frac{1}{2}{[\ln (1-z)]}^2,|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{H}_{2k}}{2k+1}{z}^{2k+1}=\frac{1}{2}\arctan z\log (1+z^2),|z|<1$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{2n}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}\frac{z^{4n+2}}{4n+2}=\frac{1}{4}\arctan z\log \frac{1+z}{1-z},|z|<1$

二項式係數

• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$
• $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0,\text{ 其中 }n>0$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{m+1})$
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k-1}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})$ （參見多重集）
• $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta }{n-k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta }{n})$（參見Vandermonde恆等式）

三角函數

正弦及餘弦的求和詳見Fourier級數。

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (k\theta )}{k}=\frac{\pi -\theta }{2},0<\theta <2\pi$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (k\theta )}{k}=-\frac{1}{2}\ln (2-2\cos \theta ),\theta \in ℝ$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin [(2k+1)\theta ]}{2k+1}=\frac{\pi }{4},0<\theta <\pi$
• $B_n(x)=-\frac{n!}{2^{n-1}{\pi }^n}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^n}\cos (2\pi kx-\frac{\pi n}{2}),0<x<1$
• $\sum _{k=0}^n\sin (\theta +k\alpha )=\frac{\sin \frac{(n+1)\alpha }{2}\sin (\theta +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin \frac{\pi k}{n}=\cot \frac{\pi }{2n}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin \frac{2\pi k}{n}=0$
• $\sum _{k=0}^{n-1}{\csc }^2(\theta +\frac{\pi k}{n})=n^2{\csc }^2(n\theta )$
• $\sum _{k=1}^{n-1}{\csc }^2\frac{\pi k}{n}=\frac{n^2-1}{3}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}{\csc }^4\frac{\pi k}{n}=\frac{n^4+10n^2-11}{45}$

有理函數

• $\sum _{n=a+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a}{n^2-a^2}=\frac{1}{2}{H}_{2a}$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{1+a\pi \coth (a\pi )}{2a^2}$
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4+4a^4}=\frac{1+a\pi \coth (a\pi )}{8a^4}$

使用部分分式分解方法，能夠將任何關於$n$的有理函數的無限項級數都被化簡為一個多伽瑪函數的有限項級數。這個方法也被應用於有理函數的有限項級數中，使得即便所求級數的項數極多，其計算也能在常數時間內完成。

參閱

• 級數
• 積分表
• 求和符號
• 泰勒級數
• 二項式定理
• Gregory級數
• 整數數列線上大全