数列

Template:Copyedit Template:NoteTA 数列（Template:Lang-en）是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。

正式定義

由於最一般的數為複數，可以作如下的定義： Template:Math theorem 在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

${⟨a_k⟩}_{k=1}^n=⟨a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n⟩$

以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。$a_1$ 为数列的「第一项」、$a_2$ 为「第二项」，以此類推。$n$ 被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 ${⟨a_k⟩}_{k=0}^n$ ，換句話說，把 $0$ 加入數列的定義域，並以第零項 $a_0$ 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 $0$ 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 $a_1$ 。

由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說

Template:Math theorem 一般會將 ${\left\{s_i\right\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 寫為 $\sum _{i=0}^n{a}_i$ ，甚至更直觀的 $a_0+a_1+\cdots +a_n$ 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的Template:Link-en。

分類

單調性

• 若對所有 Template:Math ，Template:Math ，则称数列 Template:Math 为「递增数列」。把 Template:Math 換成 Template:Math ，則稱為「嚴格遞增數列」。
• 若對所有 Template:Math ，Template:Math ，则称数列 Template:Math 为「递减数列」。把 Template:Math 換成 Template:Math ，則稱為「嚴格遞减數列」。
• 若對所有 Template:Math ，Template:Math ，则称数列 Template:Math 为「常数数列」。

有限性

• 若數列 ${⟨a_k⟩}_{k=1}^n$ 的项数有限，則 Template:Math 为「有限数列」。
• 若數列 ${⟨a_k⟩}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ 的项数无限，則 Template:Math 为「无穷数列」。

有界性

• 若對所有 Template:Math ，Template:Math ，则称数列 Template:Math 为「有界数列」。 Template:Math 稱為「下界」， Template:Math 稱為「上界」。
• 若對數列 Template:Math ，上述的 Template:Math 、 Template:Math 不存在，则称数列 Template:Math 为「無界数列」。

收斂性與極限

收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。

簡單的說，一個數列$\{x_n\}$有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近$L$（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值$L$，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 $a_n=\frac{1}{n}$ 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 $a_n=5-\frac{3n^2-9}{n^2+1}$時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$。

收斂的嚴格定義

我們說一個實數數列$\{a_n\}$收斂於實數$L$；如果對任意的$ϵ>0$ ，存在一個正整數$N\in \mathbb{N}$，使得對所有的$n\ge N$，有$|a_n-L|<ϵ$。

重要的特殊数列

• 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列$1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots$。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于$2$；$9999$与$9997$的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为$d$，但是$d$可为0。

若設首項$a_1=a$，則等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。

• 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

• 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列$2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots$。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，$2^{198}$与$2^{197}$的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为$r$。

若設首項$a_1=a$，則等比數列的通項公式為$a_n=a{r}^{n-1}$。

• 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

以數學符號表示，即$a_1=a_2=1$，且對於$n\ge 3$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

斐波那契数列的通项公式為$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$。

• 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

• 正负相间：$(-1{)}^n$或$(-1{)}^{n-1}$

• 隔项有零：$\frac{1}{2}[(-1{)}^n+1]$或$\frac{1}{2}[(-1{)}^{n-1}+1]$

数列的求和

通常对第1项到第$n$项求和，记为$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数$n$的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通项公式的求解

Template:Main 通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

逐差全加

给定数列差$d_n$时逐差全加，例如：

$a_1=1$，$d_n=a_n-a_{n-1}=2n$, 求$a_n$

$a_n=a_1+\sum _{k=2}^n{d}_k=n^2+n-1$

逐商全乘

给定数列比$r_n$时逐差全乘，例如：

$a_1=1$，$r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，求$a_n$

$a_n=a_1\prod _{k=2}^n{r}_k=n$

从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_n$可知$S_n-S_{n-1}=a_n$

把$S_n$看成一个数列，可以先对$S_n$进行求解，然后得出$a_n$。

换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知$A{a}_{n+1}+B{a}_n+C=0$，其中$A$、$B$、$C$都是常数，求$a_n$。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

• 如果$A\ne -B$，那么这个式子就可以化成下面的形式：

$A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)$。
求出$k$，那么数列$a_n+k$就是一个等比数列，从而求出通项公式。

• 如果$A=-B$，这个递推关系就不能化为等比数列。如果$A=-B$，那么它就是等差数列。另外，当$A=B$的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
• 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

$A{a}_{n+1}+B{a}_n+C=0$
$A{a}_n+B{a}_{n-1}+C=0$
两边相减就有：$A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0$，如此就化成了一个等比数列。

已知$A{a}_{n+1}+B{a}_n+C{a}_{n-1}+D=0$,其中$A$、$B$、$C$、$D$都为常数，求$a_n$；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：
$A{a}_{n+1}+E{a}_n=k(A{a}_n+E{a}_{n-1})-D$
求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列$A{a}_n+E{a}_{n-1}$的通项公式，然后求出$a_n$的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

参见

• 整数数列线上大全 (OEIS)