数列极限

Template:微積分學 Template:Otheruse 数列極限（Template:Lang-en）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 $\{z_i\in ℝ{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 來說，若

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_i=z$

則其極限 $z$ 一定為实数 ，因為假設 $z$ 的虛部 $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ 的話，則對極限定義取 $ϵ=|\mathrm{Im}(z)|>0$ 的話，會存在 $n\in \mathbb{N}$ ，使得任意的 $i\in \mathbb{N}$，只要 $i>n$有

$|z-z_i|=\sqrt{{[\mathrm{Re}(z)-z_i]}^2+{|\mathrm{Im}(z)|}^2}<|\mathrm{Im}(z)|$

這是矛盾的，所以根據反證法，$\mathrm{Im}(z)=0$ ，即 $z\in ℝ$ 。

基本性質

有界性

Template:Math theorem Template:Math proof 根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」Template:Rp

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,0,1,0,\cdots ,\frac{1-(-1{)}^n}{2},\cdots$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

四則運算定理

設$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=b$，則

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(x_n\pm y_n\right)=a\pm b$；
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\cdot y_n=a\cdot b$；
3. 若$b\ne 0,y_n\ne 0$,則$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$.

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

參看

• 级数
• 函数极限