正交座標系

Template:NoteTA 在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標$𝐪=(q_1,q_2,q_3,\dots q_n)$，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標$q_i$的等值曲面，即$q_i$為常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標$(x,y,z)$是一種正交坐標系，它的$x$為常數，$y$為常數，$z$為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

动机

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子$H_2{}^{-}$的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的$n$維問題變為$n$個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍茲方程可以在11个正交坐标系中分离。

概述

共形映射作用于矩形网格。注意，弯曲的网格的正交性被保留。

正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方$d{s}^2$，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

$d{s}^2=\sum _{i=1}^n{\left(h_{i}d{q}_i\right)}^2$；

其中，$n$是維數，標度因子$h_i$是度規張量的對角元素$g_{ii}$的平方根：

$h_i(𝐪)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{g_{ii}(𝐪)}$。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系$(x,y)$的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數$z=x+iy$的任何全純函數$w=f(z)$，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為$w=u+iv$，則$u$與$v$的等值曲線以直角相交，就如同原本的$x$與$y$的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的Template:En-link而得到。

向量代数

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

$𝐀\cdot 𝐁=\sum _{i=1}^n{A}_i{B}_i$。

向量微積分

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標$q_i$的無窮小改變$d{q}_i$，其相伴的長度是$d{s}_i=h_{i}d{q}_i$。因此，一個位移向量的全微分$d𝐫$等於

$d𝐫=\sum _{i=1}^n{h}_{i}d{q}_i{𝐞}_i$；

其中，${𝐞}_i$是垂直於$q_i$等值曲面的單位向量，指向著$q_i$增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量$𝐅$沿著周線$ℂ$的線積分等於

$\underset{ℂ}{\int }𝐅\cdot d𝐫=\sum _{i=1}^n\underset{ℂ}{\int }{F}_i{h}_{i}d{q}_i$；

其中，$F_i$是向量$𝐅$在單位向量${𝐞}_i$方向的分量：

$F_i\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{𝐞}_i\cdot 𝐅$。

類似地，一個無窮小面積元素是

$dA=d{s}_{i}d{s}_j=h_i{h}_{j}d{q}_{i}d{q}_j,i\ne j$，

一個無窮小體積元素是

$dV=d{s}_{i}d{s}_{j}d{s}_k=h_i{h}_j{h}_{k}d{q}_{i}d{q}_{j}d{q}_k,i\ne j\ne k$。

例如，向量$𝐅$對於一個曲面$𝕊$的曲面積分是

$\underset{𝕊}{\int }𝐅\cdot d𝐀=\underset{𝕊}{\int }{F}_1{h}_2{h}_{3}d{q}_{2}d{q}_3+\underset{𝕊}{\int }{F}_2{h}_3{h}_{1}d{q}_{3}d{q}_1+\underset{𝕊}{\int }{F}_3{h}_1{h}_{2}d{q}_{1}d{q}_2$。

球坐標系實例

直角坐標$(x,y,z)$與球坐標$(r,\theta ,\varphi )$的變換方程式為

$x=r\sin \theta \cos \varphi$、

$y=r\sin \theta \sin \varphi$、

$z=r\cos \theta$。

直角坐標的全微分是

$dx=\sin \theta \cos \varphi dr+r\cos \theta \cos \varphi d\theta -r\sin \theta \sin \varphi d\varphi$、

$dy=\sin \theta \sin \varphi dr+r\cos \theta \sin \varphi d\theta +r\sin \theta \cos \varphi d\varphi$、

$dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta$。

所以，無窮小距離的平方是

$\begin{array}{cc}d{s}^2& =d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\\ & =d{r}^2+(rd\theta {)}^2+(r\sin \theta d\varphi {)}^2\\ \end{array}$ 。

標度因子是

$h_r=1$、

$h_{\theta }=r$、

$h_{\varphi }=r\sin \theta$。

向量$𝐅$沿著周線$ℂ$的線積分等於

$\underset{ℂ}{\int }𝐅\cdot d𝐫=\underset{ℂ}{\int }{F}_{r}dr+F_{\theta }rd\theta +F_{\varphi }r\sin \theta d\varphi$。

向量$𝐅$對於一個曲面$𝕊$的曲面積分是

$\underset{𝕊}{\int }𝐅\cdot d𝐀=\underset{𝕊}{\int }{F}_r{r}^2\sin \theta d\theta d\varphi +\underset{𝕊}{\int }{F}_{\theta }r\sin \theta drd\varphi +\underset{𝕊}{\int }{F}_{\varphi }rdrd\theta$。

三維微分算子

算子	正交坐標公式
标量场的梯度	$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }={\widehat{𝐞}}_1\frac{1}{h_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}+{\widehat{𝐞}}_2\frac{1}{h_2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}+{\widehat{𝐞}}_3\frac{1}{h_3}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_3}$
向量场的散度	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}(F_1{h}_2{h}_3)+\frac{\partial }{\partial q_2}(F_2{h}_3{h}_1)+\frac{\partial }{\partial q_3}(F_3{h}_1{h}_2)]$
向量场的旋度	$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times 𝐅& =\frac{{𝐞}_1}{h_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_2}\left(h_3{F}_3\right)-\frac{\partial }{\partial q_3}\left(h_2{F}_2\right)]+\frac{{𝐞}_2}{h_3{h}_1}[\frac{\partial }{\partial q_3}\left(h_1{F}_1\right)-\frac{\partial }{\partial q_1}\left(h_3{F}_3\right)]\\ & +\frac{{𝐞}_3}{h_1{h}_2}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(h_2{F}_2\right)-\frac{\partial }{\partial q_2}\left(h_1{F}_1\right)]\\ \end{array}$
标量场的拉普拉斯算子	${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{h_3{h}_1}{h_2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_3}\right)]$

上面表达式可以使用列維-奇維塔符號$ϵ$的更简洁形式书写，定义$H=h_1{h}_2{h}_3$，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:

算子	表达式
标量场的梯度	$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{{\widehat{𝐞}}_k}{h_k}\frac{\partial \varphi }{\partial q^k}$
向量场的散度	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{H}\frac{\partial }{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k}{F}_k\right)$
向量场（只3D）的旋度	${(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)}_k=\frac{h_k{\widehat{𝐞}}_k}{H}{ϵ}_{ijk}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(h_j{F}_j\right)$
标量场的拉普拉斯算子	${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{1}{H}\frac{\partial }{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k^2}\frac{\partial \varphi }{\partial q^k}\right)$

二维正交坐标系表格

坐标系	复数变换 $x+iy=f(u+iv)$	$u$和$v$等值线的形状	注释
直角	$u+iv$	直线, 直线
Template:En-link	$\exp (u+iv)$	圆, 直线	若$u=\ln r$则为极坐标系
抛物线	$\frac{1}{2}(u+iv{)}^2$	抛物线, 抛物线
点偶极	$(u+iv{)}^{-1}$	圆, 圆
椭圆	$\cosh (u+iv)$	椭圆, 双曲线	对于大距离看似对数极
双极	$\coth (u+iv)$	圆, 圆	对于大距离看似点偶极
	$\sqrt{u+iv}$	双曲线, 双曲线
	$u=x^2+2y^2,y=v{x}^2$	椭圆, 抛物线

三维正交坐标系表格

除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。

曲线坐标 (q1, q2, q3)	从直角坐标(x, y, z)转换	缩放因子
球极坐标系 $(r,\theta ,\varphi )\in [0,\mathrm{\infty })\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =1\\ h_2& =r\\ h_3& =r\sin \theta \end{array}$
圆柱坐标系 $(\rho ,\varphi ,z)\in [0,\mathrm{\infty })\times [0,2\pi )\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$\begin{array}{cc}x& =\rho \cos \varphi \\ y& =\rho \sin \varphi \\ z& =z\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_3=1\\ h_2& =\rho \end{array}$
抛物柱面坐标系 $(u,v,z)\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\times [0,\mathrm{\infty })\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\ y& =uv\\ z& =z\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=\sqrt{u^2+v^2}\\ h_3& =1\end{array}$
抛物线坐标系 $(u,v,\varphi )\in [0,\mathrm{\infty })\times [0,\mathrm{\infty })\times [0,2\pi )$	$\begin{array}{cc}x& =uv\cos \varphi \\ y& =uv\sin \varphi \\ z& =\frac{1}{2}(u^2-v^2)\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=\sqrt{u^2+v^2}\\ h_3& =uv\end{array}$
椭圆柱坐标系 $(u,v,z)\in [0,\mathrm{\infty })\times [0,2\pi )\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$\begin{array}{cc}x& =a\cosh u\cos v\\ y& =a\sinh u\sin v\\ z& =z\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=a\sqrt{{\sinh }^{2}u+{\sin }^{2}v}\\ h_3& =1\end{array}$
长球面坐标系 $(\xi ,\eta ,\varphi )\in [0,\mathrm{\infty })\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	$\begin{array}{cc}x& =a\sinh \xi \sin \eta \cos \varphi \\ y& =a\sinh \xi \sin \eta \sin \varphi \\ z& =a\cosh \xi \cos \eta \end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=a\sqrt{{\sinh }^2\xi +{\sin }^2\eta }\\ h_3& =a\sinh \xi \sin \eta \end{array}$
扁球面坐标系 $(\xi ,\eta ,\varphi )\in [0,\mathrm{\infty })\times [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\times [0,2\pi )$	$\begin{array}{cc}x& =a\cosh \xi \cos \eta \cos \varphi \\ y& =a\cosh \xi \cos \eta \sin \varphi \\ z& =a\sinh \xi \sin \eta \end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=a\sqrt{{\sinh }^2\xi +{\sin }^2\eta }\\ h_3& =a\cosh \xi \cos \eta \end{array}$
双极圆柱坐标系 $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$\begin{array}{cc}x& =\frac{a\sinh v}{\cosh v-\cos u}\\ y& =\frac{a\sin u}{\cosh v-\cos u}\\ z& =z\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=\frac{a}{\cosh v-\cos u}\\ h_3& =1\end{array}$
圆环坐标系 $(u,v,\varphi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\mathrm{\infty })\times [0,2\pi )$	$\begin{array}{cc}x& =\frac{a\sinh v\cos \varphi }{\cosh v-\cos u}\\ y& =\frac{a\sinh v\sin \varphi }{\cosh v-\cos u}\\ z& =\frac{a\sin u}{\cosh v-\cos u}\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=\frac{a}{\cosh v-\cos u}\\ h_3& =\frac{a\sinh v}{\cosh v-\cos u}\end{array}$
双球坐标系 $(u,v,\varphi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\mathrm{\infty })\times [0,2\pi )$	$\begin{array}{cc}x& =\frac{a\sin u\cos \varphi }{\cosh v-\cos u}\\ y& =\frac{a\sin u\sin \varphi }{\cosh v-\cos u}\\ z& =\frac{a\sinh v}{\cosh v-\cos u}\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =h_2=\frac{a}{\cosh v-\cos u}\\ h_3& =\frac{a\sin u}{\cosh v-\cos u}\end{array}$
圆锥坐标系 $\begin{array}{cc}& (\lambda ,\mu ,\nu )\\ & {\nu }^2<b^2<{\mu }^2<a^2\\ & \lambda \in [0,\mathrm{\infty })\end{array}$	$\begin{array}{cc}x& =\frac{\lambda \mu \nu }{ab}\\ y& =\frac{\lambda }{a}\sqrt{\frac{({\mu }^2-a^2)({\nu }^2-a^2)}{a^2-b^2}}\\ z& =\frac{\lambda }{b}\sqrt{\frac{({\mu }^2-b^2)({\nu }^2-b^2)}{a^2-b^2}}\end{array}$	$\begin{array}{cc}{h}_1& =1\\ h_2^2& =\frac{{\lambda }^2({\mu }^2-{\nu }^2)}{({\mu }^2-a^2)(b^2-{\mu }^2)}\\ h_3^2& =\frac{{\lambda }^2({\mu }^2-{\nu }^2)}{({\nu }^2-a^2)({\nu }^2-b^2)}\end{array}$
抛物面坐标系 $\begin{array}{cc}& (\lambda ,\mu ,\nu )\\ & \lambda <b^2<\mu <a^2<\nu \end{array}$	$\frac{x^2}{q_i-a^2}+\frac{y^2}{q_i-b^2}=2z+q_i$ 其中 $(q_1,q_2,q_3)=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_i=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)}}$
椭球坐标系 $\begin{array}{cc}& (\lambda ,\mu ,\nu )\\ & \lambda <c^2<b^2<a^2,\\ & c^2<\mu <b^2<a^2,\\ & c^2<b^2<\nu <a^2,\end{array}$	$\frac{x^2}{a^2-q_i}+\frac{y^2}{b^2-q_i}+\frac{z^2}{c^2-q_i}=1$ 其中 $(q_1,q_2,q_3)=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_i=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}$

微分算子导引

梯度導引

一個函數$\varphi$的梯度朝某個方向$\widehat{𝐧}$的分量，等於方向導數 $\frac{d\varphi }{ds}$朝$\widehat{𝐧}$方向的值：

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\cdot \widehat{𝐧}=\frac{d\varphi }{ds}$；

其中，$ds$是朝$\widehat{𝐧}$方向的無窮小位移。

假若，這$\widehat{𝐧}$與正交坐標軸${\widehat{𝐞}}_i$同方向。那麼，$ds=h_{i}d{q}_i$。所以，函數$\varphi$的梯度朝${\widehat{𝐞}}_i$的分量是$\frac{\partial \varphi }{h_i\partial q_i}$；也就是說，

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }={\widehat{𝐞}}_1\frac{1}{h_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}+{\widehat{𝐞}}_2\frac{1}{h_2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}+{\widehat{𝐞}}_3\frac{1}{h_3}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_3}$。

散度導引

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1+{\widehat{𝐞}}_2{F}_2+{\widehat{𝐞}}_3{F}_3)$。

取右手邊第一個項目，

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1)=\mathrm{\nabla }\cdot \left[\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_2{h}_3}\right)\left(h_2{h}_3{F}_1\right)\right]$。

應用向量恆等式$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\varphi )=\varphi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )$與$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }{\varphi }_1\times \mathrm{\nabla }{\varphi }_2)=0$，可以得到

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1)& =(h_2{h}_3{F}_1)\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_2{h}_3}\right)+\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_2{h}_3}\right)\cdot \mathrm{\nabla }(h_2{h}_3{F}_1)\\ & =(h_2{h}_3{F}_1)\mathrm{\nabla }\cdot [(\mathrm{\nabla }{q}_2)\times \mathrm{\nabla }(q_3)]+\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_2{h}_3}\right)\cdot \mathrm{\nabla }(h_2{h}_3{F}_1)\\ & =\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_2{h}_3}\right)\cdot \mathrm{\nabla }(h_2{h}_3{F}_1)\\ & =\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\frac{\partial }{\partial q_1}(F_1{h}_2{h}_3)\\ \end{array}$ 。

總合所有項目，

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}(F_1{h}_2{h}_3)+\frac{\partial }{\partial q_2}(F_2{h}_3{h}_1)+\frac{\partial }{\partial q_3}(F_3{h}_1{h}_2)]$。

旋度導引

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\mathrm{\nabla }\times ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1+{\widehat{𝐞}}_2{F}_2+{\widehat{𝐞}}_3{F}_3)$。

取右手邊第一個項目，

$\mathrm{\nabla }\times ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1)=\mathrm{\nabla }\times \left[\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_1}\right)\left(h_1{F}_1\right)\right]$。

應用向量恆等式$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\varphi )=\varphi \mathrm{\nabla }\times 𝐀-𝐀\times (\mathrm{\nabla }\varphi )$，

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1)& =(h_1{F}_1)\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_1}\right)-\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_1}\right)\times \mathrm{\nabla }(h_1{F}_1)\\ & =(h_1{F}_1)\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }{q}_1)-\left(\frac{{\widehat{𝐞}}_1}{h_1}\right)\times (\frac{{\widehat{𝐞}}_2}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}(h_1{F}_1)+\frac{{\widehat{𝐞}}_3}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}(h_1{F}_1))\\ \end{array}$。

應用向量恆等式$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )=0$，

$\mathrm{\nabla }\times ({\widehat{𝐞}}_1{F}_1)=\frac{{\widehat{𝐞}}_2}{h_1{h}_3}\frac{\partial }{\partial q_3}(h_1{F}_1)-\frac{{\widehat{𝐞}}_3}{h_1{h}_2}\frac{\partial }{\partial q_2}(h_1{F}_1)$。

總合所有項目，

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times 𝐅& =\frac{{𝐞}_1}{h_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_2}\left(h_3{F}_3\right)-\frac{\partial }{\partial q_3}\left(h_2{F}_2\right)]+\frac{{𝐞}_2}{h_3{h}_1}[\frac{\partial }{\partial q_3}\left(h_1{F}_1\right)-\frac{\partial }{\partial q_1}\left(h_3{F}_3\right)]\\ & +\frac{{𝐞}_3}{h_1{h}_2}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(h_2{F}_2\right)-\frac{\partial }{\partial q_2}\left(h_1{F}_1\right)]\\ \end{array}$ 。

拉普拉斯算子

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{h_3{h}_1}{h_2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_3}\right)]$。

参见

• 坐标系
• 曲线坐标系
• 斜交坐标系（度規張量有非對角項目）
• 在圆柱和球坐标系中的del

參考文獻

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。

• Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

• Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。