橢球坐標系

橢球坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系，是橢圓坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，橢球坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

基本公式

橢球坐標 $(λ, μ, ν)$ 以直角坐標 $(x, y, z)$ 定義為：

x^{2} = \frac{(a^{2} + λ) (a^{2} + μ) (a^{2} + ν)}{(a^{2} - b^{2}) (a^{2} - c^{2})}

、

y^{2} = \frac{(b^{2} + λ) (b^{2} + μ) (b^{2} + ν)}{(b^{2} - a^{2}) (b^{2} - c^{2})}

、

z^{2} = \frac{(c^{2} + λ) (c^{2} + μ) (c^{2} + ν)}{(c^{2} - b^{2}) (c^{2} - a^{2})}

；

其中，橢球坐標遵守以下限制：

- λ < c^{2} < - μ < b^{2} < - ν < a^{2}

。

$λ$ -坐標曲面是橢球面：

\frac{x^{2}}{a^{2} + λ} + \frac{y^{2}}{b^{2} + λ} + \frac{z^{2}}{c^{2} + λ} = 1

。

\frac{x^{2}}{a^{2} + μ} + \frac{y^{2}}{b^{2} + μ} + \frac{z^{2}}{c^{2} + μ} = 1

。

\frac{x^{2}}{a^{2} + ν} + \frac{y^{2}}{b^{2} + ν} + \frac{z^{2}}{c^{2} + ν} = 1

。

為了簡化標度因子的計算，設定函數

S (σ) \overset{d e f}{=} (a^{2} + σ) (b^{2} + σ) (c^{2} + σ)

；

其中，參數 $σ$ 可以代表任何一個橢球坐標 $(λ, μ, ν)$ 。

橢球坐標的標度因子分別為

h_{λ} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(λ - μ) (λ - ν)}{S (λ)}}

、

h_{μ} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(μ - λ) (μ - ν)}{S (μ)}}

、

h_{ν} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(ν - λ) (ν - μ)}{S (ν)}}

。

無窮小體積元素等於

d V = \frac{(λ - μ) (λ - ν) (μ - ν)}{8 \sqrt{- S (λ) S (μ) S (ν)}} d λ d μ d ν

。

\nabla^{2} Φ = \frac{4 \sqrt{S (λ)}}{(λ - μ) (λ - ν)} \frac{\partial}{\partial λ} [\sqrt{S (λ)} \frac{\partial Φ}{\partial λ}] + \frac{4 \sqrt{S (μ)}}{(μ - λ) (μ - ν)} \frac{\partial}{\partial μ} [\sqrt{S (μ)} \frac{\partial Φ}{\partial μ}]

+ \frac{4 \sqrt{S (ν)}}{(ν - λ) (ν - μ)} \frac{\partial}{\partial ν} [\sqrt{S (ν)} \frac{\partial Φ}{\partial ν}]

。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot 𝐅$ 與 $\nabla \times 𝐅$ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。