拋物面坐標系

拋物面坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系，是二維拋物線坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，拋物面坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

三维抛物面坐标系的坐标表面。

基本公式

從直角坐標 $(x,y,z)$ 變換至拋物面坐標 $(\lambda ,\mu ,\nu )$ ：

$x^2=\frac{(A-\lambda )(A-\mu )(A-\nu )}{B-A}$ 、

$y^2=\frac{(B-\lambda )(B-\mu )(B-\nu )}{A-B}$ 、

$z=\frac{1}{2}(A+B-\lambda -\mu -\nu )$ ；

其中，拋物面坐標遵守以下限制：

$\lambda <B<\mu <A<\nu$ 。

坐標曲面

$\lambda$-坐標曲面是橢圓拋物面 (Template:Lang) ：

$\frac{x^2}{\lambda -A}+\frac{y^2}{\lambda -B}=2z+\lambda$ 。

$\mu$-坐標曲面是雙曲拋物面 ：

$\frac{x^2}{\mu -A}+\frac{y^2}{\mu -B}=2z+\mu$ 。

$\nu$-坐標曲面也是橢圓拋物面 ：

$\frac{x^2}{\nu -A}+\frac{y^2}{\nu -B}=2z+\nu$ 。

標度因子

拋物面坐標的標度因子分別為

$h_{\lambda }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\mu -\lambda )(\nu -\lambda )}{(A-\lambda )(B-\lambda )}}$ 、

$h_{\mu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\nu -\mu )(\lambda -\mu )}{(A-\mu )(B-\mu )}}$ 、

$h_{\nu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{(A-\nu )(B-\nu )}}$ 。

無窮小體積元素等於

$dV=\frac{(\mu -\lambda )(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{8\sqrt{(A-\lambda )(B-\lambda )(A-\mu )(\mu -B)(\nu -A)(\nu -B)}}d\lambda d\mu d\nu$ 。

其它微分算子，例如 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ 、$\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

參考目錄

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• Template:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), 代替 u_k 為 ξ_k.

• Template:Cite book

外部連結

• MathWorld 的拋物面坐標系 Template:Wayback