扁球面坐標系

圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的$\mu =1$。藍色半雙曲面的$\nu =45^{\circ }$。黃色半平面的$\varphi =-60^{\circ }$（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是$-60^{\circ }$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為$(1.09,-1.89,1.66)$。

圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（$\mu$-等值線）變成上圖的紅色扁球面（$\mu$坐標曲面），而$x>0$青藍色雙曲線（$\nu$-等值線）則變成藍色半雙曲面（$\nu$坐標曲面）。

扁球面坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點$F_1$與$F_2$的直角坐標分別為$(-a,0,0)$與$(a,0,0)$。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為$a$的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Template:Lang）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（Template:Lang）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（Template:Lang），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述

在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標$(\mu ,\nu ,\varphi )$常見的定義是

$x=a\cosh \mu \cos \nu \cos \varphi$、

$y=a\cosh \mu \cos \nu \sin \varphi$、

$z=a\sinh \mu \sin \nu$。

其中，$\mu \ge 0$是個實數，角度$-90^{\circ }\le \nu \le 90^{\circ }$，角度$-180^{\circ }\le \varphi \le 180^{\circ }$。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面

$\mu$坐標曲面是扁球面 ：

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{z^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為$a\cosh \mu$，沿著z-軸，短半軸長度為$a\sinh \mu$。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為$\pm a$。

$\nu$坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{z^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$。

假若$\nu$是正值，$z$也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。$\nu$是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為$\pm a$。

$\varphi$坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin \varphi -y\cos \varphi =0$。

逆變換

用直角坐標$(x,y,z)$來計算扁球面坐標$(\mu ,\nu ,\varphi )$，方位角$\varphi$的公式為

$\tan \varphi =\frac{y}{x}$。

設定$d_1$與$d_2$分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

$d_1^2=(\sqrt{x^2+y^2}+a{)}^2+z^2$、

$d_2^2=(\sqrt{x^2+y^2}-a{)}^2+z^2$。

坐標$\mu$和$\nu$的方程式分別為

$\cosh \mu =\frac{d_1+d_2}{2a}$、

$\cos \nu =\frac{d_1-d_2}{2a}$。

標度因子

扁球面坐標$\mu$與$\nu$的標度因子相等：

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$。

方位角$\varphi$的標度因子為

$h_{\varphi }=a\cosh \mu \cos \nu$。

無窮小體積元素是

$dV=a^3\cosh \mu \cos \nu ({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\varphi$。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{1}{\cosh \mu }\frac{\partial }{\partial \mu }(\cosh \mu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu })+\frac{1}{\cos \nu }\frac{\partial }{\partial \nu }(\cos \nu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu })]+\frac{1}{a^2\left({\cosh }^2\mu {\cos }^2\nu \right)}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$。

其它微分算子，像$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$、$\mathrm{\nabla }\times 𝐅$，都可以用$(\mu ,\nu ,\varphi )$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標$(\zeta ,\xi ,\varphi )$；其中，$\zeta =\sinh \mu$，$\xi =\sin \nu$。$\zeta$坐標曲面是個扁球面，$\xi$坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

$x=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\cos \varphi$、

$y=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\sin \varphi$、

$z=a\zeta \xi$。

其中，實數$0\le \zeta <\mathrm{\infty }$，實數$-1\le \xi <1$，角度$-180^{\circ }\le \varphi \le 180^{\circ }$。

標度因子

扁球面坐標$(\zeta ,\xi ,\varphi )$的標度因子分別為：

$h_{\zeta }=a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1+{\zeta }^2}}$、

$h_{\xi }=a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1-{\xi }^2}}$、

$h_{\varphi }=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}$。

無窮小體積元素是

$dV=a^3({\zeta }^2+{\xi }^2)d\zeta d\xi d\varphi$。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{1}{a^2({\zeta }^2+{\xi }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \zeta }\left[(1+{\zeta }^2)\frac{\partial V}{\partial \zeta }\right]+\frac{\partial }{\partial \xi }\left[(1-{\xi }^2)\frac{\partial V}{\partial \xi }\right]\}+\frac{1}{a^2(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}$。

第三種表述

圖3）第三種扁球面坐標系$(\sigma ,\tau ,\varphi )$的三個坐標曲面。紅色扁球面是$\sigma$坐標曲面。藍色單葉雙曲面是$\tau$坐標曲面。黃色半平面是$\varphi$坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是$\varphi$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P₁，P₂ （以黑色的圓球表示）觀察到。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系$(\sigma ,\tau ,\varphi )$：

$\sigma =\cosh \mu$、

$\tau =\cos \nu$、

$\varphi =\varphi$。

坐標$\sigma$必須大於或等於1。坐標$\tau$必須在正負1之間。$\sigma$坐標曲面是扁球面。$\tau$坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負$\nu$的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標$(x,y,\pm z)$映射至一組扁球面坐標系$(\sigma ,\tau ,\varphi )$）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

$x=a\sigma \tau \cos \varphi$、

$y=a\sigma \tau \sin \varphi$、

$z^2=a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)$。

坐標$\sigma$與$\tau$有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離$d_1$，最近距離$d_2$：

$d_1+d_2=2a\sigma$、

$d_1-d_2=2a\tau$。

所以，點P與焦圓的最遠距離是$a(\sigma +\tau )$，點P與焦圓的最近距離是$a(\sigma -\tau )$。

坐標曲面

$\sigma$坐標曲面是扁球面 ：

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\sigma }^2}+\frac{z^2}{a^2({\sigma }^2-1)}=1$。

$\tau$坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\tau }^2}-\frac{z^2}{a^2(1-{\tau }^2)}=1$。

$\varphi$坐標曲面是半個平面 ：

$x\sin \varphi -y\cos \varphi =0$。

標度因子

扁球面坐標$(\sigma ,\tau ,\varphi )$的標度因子分別為：

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2+{\tau }^2}{{\sigma }^2+1}}$、

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2+{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}$、

$h_{\varphi }=a\sigma \tau$。

無窮小體積元素是

$dV=a^3\sigma \tau \frac{{\sigma }^2+{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2+1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau d\varphi$。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2+{\tau }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[({\sigma }^2+1)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right]+\frac{\partial }{\partial \tau }\left[(1-{\tau }^2)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right]\}+\frac{1}{a^2({\sigma }^2+1)(1-{\tau }^2)}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$。

其它微分算子，像$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$、$\mathrm{\nabla }\times 𝐅$，都可以用$(\sigma ,\tau ,z)$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參考目錄

不按照命名常規

• Template:Cite book 採用${\xi }_1=a\sinh \mu$、${\xi }_2=\sin \nu$、${\xi }_3=\cos \varphi$。

• Template:Cite book 如同Morse & Feshbach (1953)，採用$u_k$來替代${\xi }_k$。

• Template:Cite book

• Template:Cite book 採用混合坐標$\xi =a\sinh \mu$、$\eta =\sin \nu$、$\varphi =\varphi$。

按照命名常規

• Template:Cite book採用第一種表述$(\mu ,\nu ,\varphi )$，又加介紹了簡併的第三種表述$(\sigma ,\tau ,\varphi )$。

• Template:Cite book 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度$\theta =90^{\circ }-\nu$來替代緯度$\nu$。

• Template:Cite book Moon and Spencer採用餘緯度常規$\theta =90^{\circ }-\nu$，又改名$\varphi$為$\psi$。

特異命名常規

• Template:Cite book視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。