向量恆等式列表

在這篇文章內，向量與其量值分別用粗體與斜體表示；例如，$\left|𝐫\right|=r$ 。

這條目陳列一些常用的向量代數的恆等式。

三重積

• $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=(𝐂\times 𝐁)\times 𝐀=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)$
• $𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂)=𝐁\cdot (𝐂\times 𝐀)=𝐂\cdot (𝐀\times 𝐁)$

其他乘積

• $(𝐀\times 𝐁)\cdot (𝐀\times 𝐁)=A^2{B}^2-(𝐀\cdot 𝐁{)}^2=𝐁\cdot (𝐀\times (𝐁\times 𝐀))$
• $(A\times B)\mathbf{\times }(𝐂\times 𝐃)=(𝐀\cdot (𝐁\mathbf{\times }𝐃))𝐂-(𝐀\cdot (𝐁\mathbf{\times }𝐂))𝐃$

乘積定則

• $\mathrm{\nabla }(fg)=f(\mathrm{\nabla }g)+g(\mathrm{\nabla }f)$
• $\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$
• $\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\times \mathrm{\nabla })\times 𝐁+(𝐁\times \mathrm{\nabla })\times 𝐀+𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)+𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐀)=f(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }f)$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$
• $\mathrm{\nabla }\times (f𝐀)=f(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(\mathrm{\nabla }f)\times 𝐀$
• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)$
• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)-𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-(𝐀\times \mathrm{\nabla })\times 𝐁+(𝐁\times \mathrm{\nabla })\times 𝐀$
• $\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)=-{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)=-\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}$
• ${\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)=-4\pi \delta (𝐫-{𝐫}^{\prime })$

二次微分

• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=\mathrm{𝟎}$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\nabla }}^2𝐀)$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

這裏，${\mathrm{\nabla }}^2𝐀$ 應被理解爲對 $𝐀$ 的每個分量取拉普拉斯算子，卽向量值函数的拉普拉斯算子。

積分

• ${\oint }_{𝕊}𝐀\cdot \mathrm{d}𝐒=\underset{𝕍}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\mathrm{d}V$ （散度定理）
• ${\oint }_{𝕊}\psi \mathrm{d}𝐒=\underset{𝕍}{\int }\mathrm{\nabla }\psi \mathrm{d}V$
• ${\oint }_{𝕊}(\widehat{𝐧}\times 𝐀)\cdot \mathrm{d}S=\underset{𝕍}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\mathrm{d}V$
• ${\oint }_{ℂ}𝐀\cdot d𝐥=\underset{𝕊}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot \mathrm{d}𝐒$ （斯托克斯定理）

• ${\oint }_{ℂ}\psi d𝐥=\underset{𝕊}{\int }(\widehat{𝐧}\times \mathrm{\nabla }\psi )\mathrm{d}S$

格林恆等式

• 格林第一恆等式： $\underset{𝕌}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{\nabla }\psi )\mathrm{d}V={\oint }_{\partial 𝕌}\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}\mathrm{d}S$
• 格林第二恆等式：$\underset{𝕌}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi )\mathrm{d}V={\oint }_{\partial 𝕌}(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}-\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n})\mathrm{d}S$
• 格林第三恆等式：$\psi (𝐱)-\underset{𝕌}{\int }[G(𝐱,{𝐱}^{\prime })\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2\psi ({𝐱}^{\prime })]\mathrm{d}{V}^{\prime }={\oint }_{\partial 𝕌}[\psi ({𝐱}^{\prime })\frac{\partial G(𝐱,{𝐱}^{\prime })}{\partial n^{\prime }}-G(𝐱,{𝐱}^{\prime })\frac{\partial \psi ({𝐱}^{\prime })}{\partial n^{\prime }}]\mathrm{d}{S}^{\prime }$

參閱

• 格林恆等式
• 數學恆等式列表 (Template:Lang)
• 向量微積分恆等式 (Template:Lang)