拉普拉斯算子

Template:NoteTA Template:About Template:微积分学 在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Template:Lang-en）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 $\mathrm{\Delta }$、${\mathrm{\nabla }}^2$ 或 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$。

這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零 $\mathrm{\Delta }f=0$ 的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。

定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 $f$ 先作梯度運算（$\mathrm{\nabla }f$）後，再作散度運算（$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$）的結果。因此如果 $f$ 是二阶可微的实函数，则 $f$ 的拉普拉斯算子定义为：

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$ ── (1)

$f$ 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 $x_i$ 中的所有非混合二阶偏导数：

$\mathrm{\Delta }f=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}$ ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把C^k函数映射到C^k-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：C^k(Rⁿ)→ C^k-2(Rⁿ)，或更一般地，定义了一个算子Δ：C^k(Ω)→ C^k-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{t}\mathrm{r}(H(f)).$

坐標表示式

二維空間

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標

另外極坐標的表示法為：

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}$

三維空間

笛卡兒坐標系下的表示法

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

圓柱坐標系下的表示法

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

球坐標系下的表示法

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}.$

N维空间

在参数方程为$x=r\theta \in {ℝ}^N$（其中$r\in [0,+\mathrm{\infty })$以及$\theta \in S^{N-1}$）的$N$维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}{\mathrm{\Delta }}_{S^{N-1}}f$

其中${\mathrm{\Delta }}_{S^{N-1}}$是$N-1$维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}$的项写成$\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{\partial f}{\partial r}\right)$。

恒等式

• 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

$\mathrm{\Delta }(fg)=(\mathrm{\Delta }f)g+2((\mathrm{\nabla }f)\cdot (\mathrm{\nabla }g))+f(\mathrm{\Delta }g)$。

f是径向函数$f(r)$且g是球谐函数$Y_{lm}(\theta ,\varphi )$，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。$f(r)$的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

$2(\mathrm{\nabla }f(r))\cdot (\mathrm{\nabla }{Y}_{lm}(\theta ,\varphi ))=0$。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

$\mathrm{\Delta }{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi )=-\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi )$。

因此：

$\mathrm{\Delta }(f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ))=(\frac{d^{2}f(r)}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{df(r)}{dr}-\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}f(r))Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )$。

谱理论

拉普拉斯算子的谱由特征值$\lambda$和对应的特征函数$f$组成，满足：

$-\mathrm{\Delta }f=\lambda f$

这就是所谓的亥姆霍兹方程。

如果$\mathrm{\Omega }$在${ℝ}^n$中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间$L^2(\mathrm{\Omega })$下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。

推广

复杂空间上的实值函数

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子（Template:Lang-en）：

$◻=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}.$

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

值域爲复杂空间

向量值函數的拉普拉斯算子

Template:See 拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀=({\mathrm{\nabla }}^2{A}_x,{\mathrm{\nabla }}^2{A}_y,{\mathrm{\nabla }}^2{A}_z)$．

更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式．

拉普拉斯－贝尔特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del

参考文献

• Template:Cite book
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外部連結

• MathWorld: Laplacian Template:Wayback
• Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates Template:Wayback by Swapnil Sunil Jain