圓環坐標系

圖 1 ）圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $\sigma =30^{\circ }$ 。藍色環面的 $\tau =0.5$ 。黃色半平面的 $\varphi =60^{\circ }$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(0.996,-1.725,1.911)$ 。

圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面（ $\sigma$-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色環面（ $\tau$-坐標曲面）。

圓環坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 $F_1$ 與 $F_2$ 的直角坐標分別為 $(-a,0,0)$ 與 $(a,0,0)$ 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 $a$ 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。

數學定義

在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 最常見的定義是

$x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\cos \varphi$ 、

$y=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\sin \varphi$ 、

$z=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$ ；

其中，$(x,y,z)$ 是直角坐標，$\sigma$ 坐標是 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 的弧度，$\tau$ 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 $d_1$ 與 $d_2$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$ 。

圓環坐標的值域為 $-\pi <\sigma \le \pi$ ，$\tau \ge 0$ ， $0\le \varphi <2\pi$ 。

坐標曲面

每一個 $\sigma$-坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

$x^2+y^2+(z-a\cot \sigma {)}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$ 。

正值 $\sigma$ 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 $\sigma$ 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 $\left|\sigma \right|$ 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，$\left|\sigma \right|$ 達到最大值 $\pi /2$ 。

每一個 $\tau$-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

$z^2+{(\sqrt{x^2+y^2}-a\coth \tau )}^2=\frac{a^2}{{\sinh }^2\tau }$ 。

$\tau =0$ 曲線與 z-軸同軸。當 $\tau$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的幾何詮釋。在一個方位角 $\varphi$ 為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。$\overline{F_{1}P}$ 與 $\overline{F_{2}P}$ 的夾角 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_{1}P$ 與 $F_{2}P$ 的比例的自然對數是 $\tau$ 。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

$\tau$ 是 $d_1$ 與 $d_2$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$ 。

圓環坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 可以用直角坐標 $(x,y,z)$ 來表達。方位角 $\varphi$ 的公式為

$\tan \varphi =\frac{y}{x}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

$d_1^2=(\sqrt{x^2+y^2}+a{)}^2+z^2$ 、

$d_2^2=(\sqrt{x^2+y^2}-a{)}^2+z^2$ 。

如圖 3 ，$\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 $\overline{F_{1}P}$ 與 $\overline{F_{2}P}$ 的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma =\frac{d_1^2+d_2^2-4a^2}{2d_1{d}_2}$ 。

標度因子

圓環坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 。

方位角的標度因子為

$h_{\varphi }=\frac{a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 。

無窮小體積元素是

$dV=\frac{a^3\sinh \tau }{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}d\sigma d\tau d\varphi$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}{a^2\sinh \tau }[\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)+\frac{1}{\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}]$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ 、$\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\sigma ,\tau ,z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。

參閱

• 國際熱核聚變實驗反應堆

參考文獻

• Template:Cite book
• Template:Cite journal

參考目錄

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book