長球面坐標系

圖 1 ）長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 $\mu =1$ 。藍色半個雙葉雙曲面的 $\nu =45^{\circ }$ 。黃色半平面的 $\varphi =-60^{\circ }$ （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\left|\varphi \right|$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(0.831,-1.439,2.182)$ 。

圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ $\mu$-等值線）變成上圖的紅色長球面（ $\mu$ 坐標曲面），而 $x>0$ 青藍色雙曲線（ $\nu$-等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ $\nu$ 坐標曲面）。

長球面坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 $F_1$ 與 $F_2$ 的直角坐標分別為 $(0,0,-a)$ 與 $(0,0,a)$ 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 $(\mu ,\nu ,\varphi )$ 常見的定義是

$x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi$ 、

$y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi$ 、

$z=a\cosh \mu \cos \nu$ ；

其中，$\mu \ge 0$ 是個實數，弧度 $0\le \nu \le \pi$ ，弧度 $0\le \varphi \le 2\pi$ 。

坐標曲面

$\mu$ 坐標曲面是長球面：

$\frac{z^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{x^2+y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 $a\sinh \mu$ ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 $a\cosh \mu$ 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 $\pm a$ 。

$\nu$ 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

$\frac{z^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{x^2+y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$ 。

當 $\nu <\pi /2$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 $\nu >\pi /2$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

$\varphi$ 坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin \varphi -y\cos \varphi =0$ 。

標度因子

長球面坐標 $\mu$ 與 $\nu$ 的標度因子相等：

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$ 。

方位角 $\varphi$ 的標度因子為

$h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu$ 。

無窮小體積元素是

$dV=a^3\sinh \mu \sin \nu ({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\varphi$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}+\coth \mu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }+\cot \nu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }]+\frac{1}{a^2{\sinh }^2\mu {\sin }^2\nu }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ ， $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\mu ,\nu ,\varphi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 $H_2^{+}$ 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 ($\mu =0$) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 ($\nu =0$) 產生的電場。

第二種表述

圖 3 ）第二種長球面坐標系 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 的三個坐標曲面。紅色長球面的 $\sigma =1.54$ 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 $\tau =0.71$ 坐標曲面 。黃色半平面的 $\varphi =-60^{\circ }$ 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\left|\varphi \right|$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 $(0.831,-1.439,2.182)$ 。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ ：

$\sigma =\cosh \mu$ 、

$\tau =\cos \nu$ 、

$\varphi =\varphi$ 。

其中，$\sigma \ge 1$ 是個實數，$1\ge \tau \ge -1$ 是個實數，弧度 $0\le \varphi \le 2\pi$ 。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

$x=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\cos \varphi$ 、

$y=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\sin \varphi$ 、

$z=a\sigma \tau$ 。

坐標曲面

$\sigma$ 坐標曲面是長球面：

$\frac{z^2}{a^2{\sigma }^2}+\frac{x^2+y^2}{a^2({\sigma }^2-1)}=1$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 $a\sqrt{{\sigma }^2-1}$ ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 $a\sigma$ 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 $\pm a$ 。

$\tau$ 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

$\frac{z^2}{a^2{\tau }^2}-\frac{x^2+y^2}{a^2(1-{\tau }^2)}=1$ 。

當 $\tau >0$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 $\tau <0$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

$\varphi$ 坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin \varphi -y\cos \varphi =0$ 。

任何一點 P 與焦點 $F_1$ ，$F_2$ 的距離 $d_1$ ，$d_2$ ，可以一個很簡單的公式表示：

$d_1+d_2=2a\sigma$ 、

$d_1-d_2=2a\tau$ 。

所以，點 P 與焦點 $F_1$ 的距離 $d_1$ 是 $a(\sigma +\tau )$ ，點 P 與焦點 $F_2$ 的距離 $d_2$ 是 $a(\sigma -\tau )$ 。（回想 $F_1$ ，$F_2$ 都是在 z-軸，分別位於 $z=-a$ ，$z=+a$ 。）

標度因子

第二種長球面坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 的標度因子分別為:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$ 、

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}$ 、

$h_{\varphi }=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}$ 。

無窮小體積元素是

$dV=a^3({\sigma }^2-{\tau }^2)d\sigma d\tau d\varphi$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[({\sigma }^2-1)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right]+\frac{\partial }{\partial \tau }\left[(1-{\tau }^2)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right]\}+\frac{1}{a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ ， $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\mu ,\nu ,\varphi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參考目錄

不按照命名常規

• Template:Cite book 採用 ${\xi }_1=a\cosh \mu$ 、${\xi }_2=\sin \nu$ 、${\xi }_3=\cos \varphi$ 。

• Template:Cite book 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 $u_k$ 來替代 ${\xi }_k$ 。

• Template:Cite book

• Template:Cite book 採用混合坐標 $\xi =\cosh \mu$ 、$\eta =\sin \nu$ 、$\varphi =\varphi$ 。

按照命名常規

• Template:Cite book 採用第一種表述 $(\mu ,\nu ,\varphi )$ ，又加介紹了簡併的第三種表述 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 。

• Template:Cite book 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 $\theta =90^{\circ }-\nu$ 來替代緯度 $\nu$ 。

• Template:Cite book Moon and Spencer 採用餘緯度常規 $\theta =90^{\circ }-\nu$ ，又改名 $\varphi$ 為 $\psi$ 。

特異命名常規

• Template:Cite book 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。