雙球坐標系

圖 1 ）雙球坐標系的幾個坐標曲面。紅色環面的 $\sigma =45^{\circ }$ 。藍色圓球面的 $\tau =0.5$ 。黃色半平面的 $\varphi =60^{\circ }$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(0.841,-1.456,1.239)$ 。

圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面（ $\sigma$-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色圓球面（ $\tau$-坐標曲面）。

雙球坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 $F_1$ 與 $F_2$ 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 $\sigma$ 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。

基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 最常見的定義是

$x=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }\cos \varphi$ 、

$y=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }\sin \varphi$ 、

$z=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$ ；

其中，$(x,y,z)$ 是直角坐標，$\sigma$ 坐標是 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 的弧度，$\tau$ 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 $d_1$ 與 $d_2$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$ 。

坐標曲面

每一個紅色的 $\sigma$-坐標曲面都是包含了兩個焦點 $F_1$ 與 $F_2$ 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

$z^2+{(\sqrt{x^2+y^2}-a\cot \sigma )}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$ 。

當絕對值 $\left|\sigma \right|$ 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，$\left|\sigma \right|$ 達到最大值 $\pi /2$ 。

每一個藍色的 $\tau$-坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

$x^2+y^2+(z-a\coth \tau {)}^2=\frac{a^2}{{\sinh }^2\tau }$ 。

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 $\tau$ 的圓球面在 $z>0$ 半空間；而負值 $\tau$ 的圓球面在 $z<0$ 半空間。$\tau =0$ 曲線則與 xy-平面同平面。當 $\tau$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的幾何意義。在一個方位角 $\varphi$ 為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。$\sigma$ 是角 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 的弧度。$\tau$ 是點 P 離兩個焦點的距離 $d_1$ 與 $d_2$ 的比例的自然對數。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。

雙球坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 可以用直角坐標 $(x,y,z)$ 來表示。方位角 $\varphi$ 的公式為

$\tan \varphi =\frac{y}{x}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

$d_1^2=x^2+y^2+(z+a{)}^2$ 、

$d_2^2=x^2+y^2+(z-a{)}^2$ 。

$\tau$ 是 $d_1$ 與 $d_2$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$ 。

如圖 3 ，$\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma =\frac{d_1^2+d_2^2-4a^2}{2d_1{d}_2}$ 。

標度因子

雙球坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 。

方位角的標度因子為

$h_{\varphi }=\frac{a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$ 。

無窮小體積元素是

$dV=\frac{a^3\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^3}d\sigma d\tau d\varphi$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}{a^2\sin \sigma }[\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\sin \sigma \frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{1}{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)+\frac{1}{\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}]$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ ， $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\sigma ,\tau ,z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。

參考目錄

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book