曲线

Template:Zy线（Template:Lang-en，旧称Template:Lang）是平滑弯曲的线段或线条，相对于直线；曲线也指动点（moving point）在空间中运动方向连续变化的轨迹。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史

• 若尔当曲线定理
• 变分法（最速降線問題、等時降線）
• 希爾伯特第十六問題
• 皮亚诺曲线和其他Template:Internal link helper/en
• 卷绕数

定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设$I=[a,b]$为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线$c$就是一个连续函数$c:I\to X$的映射，其中$X$为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为${ℝ}^2$。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若$I=[a,b]$和$f(a)=f(b)$，f是闭曲线（closed curve）或環圈。

曲线方程

一般来说，当在${ℝ}^n$下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（Template:Lang）。

例如，$x^2+y^2=1$是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

若$\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^n$，则其长度是

$$L(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$$

平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程$y=f(x)$，那么它的长度就是：

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2+1}\mathrm{d}x$$

其中$a$、$b$为$x$的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程$x(t),y(t)$，那么它的长度就是：

$$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt{{\left(x^{\prime }\right)}^2+{\left(y^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}t$$

其中$\alpha$、$\beta$为$t$的上下限。

外部链接

• Template:EnMacTutor著名曲線列圖 Template:Wayback