分離變數法

Template:NoteTA Template:微積分學 數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程

Template:Main 假若，一個常微分方程可以寫為

$\frac{d}{dx}f(x)=g(x)[h(f(x))]$ 。

Template:Clear 設定變數 $y=f(x)$ 。那麼，

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ ．(1)

只要是 $h(y)\ne 0$ ，就可以將方程式兩邊都除以 $h(y)$ ，再都乘以 $dx$ ：

$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$ 。

這樣，可以將兩個變數 $x$ ，$y$ 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 $k$ 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；

$\int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx=k$ 。

第二種方法

有些不喜歡用Template:Link-en的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

$\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x)$ 。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 $x$ 積分公式的兩邊，可以得到

$\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int g(x)dx$ 。(2)

應用换元积分法，

$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$ 。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 $\frac{dy}{dx}$ 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，

實例 (I)

常微分方程式 $\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-f(x))$ 可以寫為

$\frac{dy}{dx}=y(1-y)$ ；(3)

其中，$y=f(x)$ 。

設定 $g(x)=1$ ，$h(y)=y(1-y)$ 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則

$\frac{dy}{y(1-y)}=dx$ 。

變數 $x$ ，$y$ 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，

$\int \frac{dy}{y(1-y)}=\int dx$ 。

積分的結果是

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C$ ；

其中，$C$ 是個積分常數。稍加運算，則可得

$y=\frac{1}{1+B{e}^{-x}}$ 。

在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 $\frac{dy}{dx}$ 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 $B$ 的正值與負值。而當 $y=1$ 時，$B=0$ ）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 $y$ 跟 $(1-y)$ ，必須檢查兩個函數 $y(x)=0$ 與 $y(x)=1$ 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱Template:Link-en 。

實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

$\frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{K})$ ；

其中，$P$ 是人口數值函數，$t$ 是時間參數， $k$ 是成長的速率，$K$ 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以$P(1-\frac{P}{K})$ ．再隨著時間 $t$ 積分，

$\int \frac{1}{P(1-\frac{P}{K})}\frac{dp}{dt}dt=\int kdt$ 。

應用换元积分法，

$\int \frac{dP}{P(1-\frac{P}{K})}=\int kdt$ 。

稍微運算，則可得

$P(t)=\frac{K}{1+A{e}^{-kt}}$ ；

其中，$A$ 是常數。

偏微分方程

Template:Main 給予一個 $n$ 元函數 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為

$F=F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_n(x_n)$ ，

或者

$F=f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots +f_n(x_n)$ 。

時常，對於每一個自變量 $x_i$ ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (Template:Lang)。

實例 (III)

假若，函數 $F(x,y,z)$ 的偏微分方程為

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}=0$ 。

猜想解答為

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)$ 。

那麼，

$\frac{dX}{dx}+\frac{dY}{dy}+\frac{dZ}{dz}=0$ 。

因為 $X(x)$ 只含有 $x$ 、$Y(y)$ 只含有 $y$ 、$Z(z)$ 只含有 $z$ ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：

$\frac{dX}{dx}=c_1$ 、

$\frac{dY}{dy}=c_2$ 、

$\frac{dZ}{dz}=c_3$ ；

其中，$c_1,c_2,c_3$ 都是常數，$c_1+c_2+c_3=0$ 。

偏微分方程的答案為

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_4$ ；

其中，$c_4$ 是常數。

實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程，

${\mathrm{\nabla }}^{2}v+\lambda v=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\lambda v=0$ 。

首先，猜想答案的形式為

$v=X(x)Y(y)$ 。

代入偏微分方程，

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[X(x)Y(y)]+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0$ 。

或者，用單撇號標記，

$X^{″}(x)Y(y)+X(x)Y^{″}(y)+\lambda X(x)Y(y)=0$ 。

將方程式的兩邊除以 $X(x)Y(y)$ ，則可得

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}$ 。

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 $k$ ：

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=k=-\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}$ 。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

$X^{″}(x)-kX(x)=0$ 、

$Y^{″}(y)+(\lambda +k)Y(y)=0$ 。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，$k<0<\lambda +k$ ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

$X(x)=A_x\cos (\sqrt{-k}x+B_x)$ ，

$Y(y)=A_y\cos (\sqrt{\lambda +k}y+B_y)$ ；

其中，$A_x,A_y$ 是振幅常數，$B_x,B_y$ 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱

• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 哈密頓-雅可比方程
• 亥姆霍茲方程

參考文獻

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. Template:ISBN。