双曲函数

射線出原點交單位雙曲線$x^2-y^2=1$於點$(\cosh a,\sinh a)$，這裡的$a$是射線、雙曲線和x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值

Template:函數圖形 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数$\sinh$和雙曲餘弦函数$\cosh$，从它们可以导出双曲正切函数$\tanh$等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。

基本定义

sinh、cosh和tanh

csch、sech和coth

最簡單的幾種雙曲函數為：

• 雙曲正弦：

  $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

• 雙曲餘弦：

  $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

• 雙曲正切：

  $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$

• 雙曲餘切：當$x\ne 0$

  $\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}.$

• 雙曲正割：

  $\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}.$

• 雙曲餘割：當$x\ne 0$

  $\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}.$

函数$\cosh x$是关于y轴对称的偶函数。函数$\sinh x$是奇函数。

如同当$t$遍历实数集$ℝ$时，点（$\cos t$, $\sin t$）的轨迹是一个圆$x^2+y^2=1$一样，当$t$遍历实数集$ℝ$时，点（$\cosh t$, $\sinh t$）的轨迹是單位雙曲線$x^2-y^2=1$的右半边。这是因为有以下的恒等式：

${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（$\cosh t$, $\sinh t$）的直线之间的面积的两倍。

歷史

在直角雙曲線（方程$y=\frac{1}{x}$）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中$\cosh$和$\sinh$的$\sqrt{2}$倍。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線$xy=1$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線$y=x$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角$u$，在漸近線即x或y軸上需要有的$x$或$y$的值。顯見這裡的底邊是$(e^u+e^{-u})\frac{\sqrt{2}}{2}$，垂線是$(e^u-e^{-u})\frac{\sqrt{2}}{2}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• $\cosh u=\frac{e^u+e^{-u}}{2}$
• $\sinh u=\frac{e^u-e^{-u}}{2}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線$xy=1$下雙曲角的$\frac{1}{2}$。

虛數圓角定義

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果$x$是實數而$i^2=-1$，則

$\cos (ix)=\cosh (x),$ $-i\sin (ix)=\sinh (x).$

所以雙曲函數$\cosh$和$\sinh$可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成$\cosh$函數，後者形成了$\sinh$函數。$\cos$函數的無窮級數可從$\cosh$得出，通過把它變為交錯級數，而$\sin$函數可來自將$\sinh$變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數$i$，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子$(-1{)}^n$，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

$e^x=\cosh x+\sinh x$

$\begin{array}{cc}\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}& \sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}& \sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{array}$

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

• 雙曲正弦：

  $\sinh x=-i\sin (ix)$

• 雙曲餘弦：

  $\cosh x=\cos (ix)$

• 雙曲正切：

  $\tanh x=-i\tan (ix)$

• 雙曲餘切：

  $\coth x=i\cot (ix)$

• 雙曲正割：

  $\mathrm{sech}x=\sec (ix)$

• 雙曲餘割：

  $\mathrm{csch}x=i\csc (ix)$

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

與三角函數的類比

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角$\alpha$得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:

• 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
• 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
• 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
• 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
• 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
• 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
• 角的量值可以從0到無限大，但$\alpha$實際上只會介於$0$到$2\pi$（360度）之間，其餘是$\alpha$的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從$0$到無限大，但$\alpha$實際上不會超過$\frac{\pi }{4}$（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

恆等式

Template:Main 与双曲函数有关的恆等式如下:

$\begin{array}{c}{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1\\ 1-{\tanh }^{2}x={\mathrm{sech}}^{2}x\\ {\coth }^{2}x-1={\mathrm{csch}}^{2}x\\ \end{array}$

• 加法公式：

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$

• 二倍角公式：

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$

$\cosh 2x={\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x=2{\cosh }^{2}x-1=2{\sinh }^{2}x+1$

$\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}$

• 和差化積：

$\begin{array}{cc}\sinh x+\sinh y& =2\sinh \left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x+\cosh y& =2\cosh \left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{array}$

• 半角公式：

$\sinh \frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x+1)}}=\mathrm{sgn}x\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}}$

$\cosh \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}}$

$\tanh \frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1}=\mathrm{sgn}x\sqrt{\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}}=\frac{e^x-1}{e^x+1}$

其中 Template:Math 為符號函數。

若 Template:Math，則：

$\tanh \frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\coth x-\mathrm{csch}x$

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個$\sinh$的積的项（包括${\coth }^{2}x,{\tanh }^{2}x,{\mathrm{csch}}^{2}x,\sinh x\sinh y$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

• 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：

$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

$\cos 3x=-3\cos x+4{\cos }^{3}x$

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

$\sinh 3x=3\sinh x+4{\sinh }^{3}x$

$\cosh 3x=-3\cosh x+4{\cosh }^{3}x$

• 差角公式：

$\begin{array}{cc}\sinh (x-y)& =\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\ \cosh (x-y)& =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\ \tanh (x-y)& =\frac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}\\ \end{array}$

双曲函数的導數

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\sinh x& =\cosh x\\ \frac{d}{dx}\cosh x& =\sinh x\\ \frac{d}{dx}\tanh x& =1-{\tanh }^{2}x={\mathrm{sech}}^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}\\ \frac{d}{dx}\coth x& =1-{\coth }^{2}x=-{\mathrm{csch}}^{2}x=-\frac{1}{{\sinh }^{2}x}& & x\ne 0\\ \frac{d}{dx}\mathrm{sech}x& =-\tanh x\mathrm{sech}x\\ \frac{d}{dx}\mathrm{csch}x& =-\coth x\mathrm{csch}x& & x\ne 0\end{array}$

双曲函数的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\coth x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$（罗朗级数）

$\mathrm{sech}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$（罗朗级数）

其中

$B_n$是第$n$項伯努利數

$E_n$是第$n$項欧拉數

無限積與連續分數形式

下列的擴展在整個複數平面上成立：

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})=\frac{x}{1-\frac{x^2}{2\cdot 3+x^2-\frac{2\cdot 3x^2}{4\cdot 5+x^2-\frac{4\cdot 5x^2}{6\cdot 7+x^2-\ddots }}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{(n-1/2{)}^2{\pi }^2})=\frac{1}{1-\frac{x^2}{1\cdot 2+x^2-\frac{1\cdot 2x^2}{3\cdot 4+x^2-\frac{3\cdot 4x^2}{5\cdot 6+x^2-\ddots }}}}$

$\tanh x=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{3}{x}+\frac{1}{\frac{5}{x}+\frac{1}{\frac{7}{x}+\ddots }}}}$

双曲函数的积分

$\int \sinh cx\mathrm{d}x=\frac{1}{c}\cosh cx+C$

$\int \cosh cx\mathrm{d}x=\frac{1}{c}\sinh cx+C$

$\int \tanh cx\mathrm{d}x=\frac{1}{c}\ln (\cosh cx)+C$

$\int \coth cx\mathrm{d}x=\frac{1}{c}\ln |\sinh cx|+C$

$\int \mathrm{sech}cx\mathrm{d}x=\frac{1}{c}\arctan (\sinh cx)+C$

$\int \mathrm{csch}cx\mathrm{d}x=\frac{1}{c}\ln |\tanh \frac{cx}{2}|+C$

與指數函數的關係

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

$e^x=\cosh x+\sinh x$

和

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x$

複數的雙曲函數

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數$\sinh z$和$\cosh z$是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}& =\cos x-i\sin x\end{array}$

所以:

$\begin{array}{cc}\cosh ix& =\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x\\ \sinh ix& =\frac{1}{2}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x\\ \tanh ix& =i\tan x\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\cosh (x+iy)& =\cosh (x)\cos (y)+i\sinh (x)\sin (y)\\ \sinh (x+iy)& =\sinh (x)\cos (y)+i\cosh (x)\sin (y)\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\cosh x& =\cos ix\\ \sinh x& =-i\sin ix\\ \tanh x& =-i\tan ix\end{array}$

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為$2\pi i$（對雙曲正切和餘切是$\pi i$）。

反双曲函数

Template:Main 反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})\\ \mathrm{arcosh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1\\ \mathrm{artanh}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1\\ \mathrm{arcoth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1\\ \mathrm{arsech}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}}{x});0<x\le 1\\ \mathrm{arcsch}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|});x\ne 0\end{array}$

参见

• 反双曲函数
• 双曲函数符号
• 三角函数
• 古德曼函数