雙曲正弦

Template:函數 在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示，在部分較舊的文獻中有時會以$𝔖𝔦𝔫$表示。

定義

雙曲正弦一般計為$\sinh$（有時會簡寫為$\mathrm{sh}$），其在複變分析中定義為:

$\sinh :z\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{2}$

其中$z\mapsto {\mathrm{e}}^z$是Template:Link-ja。

複數域雙曲正弦的色相環複變函數圖形

也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的Template:Link-en

在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。

性質

一般性質

• 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。
• 雙曲正弦是一個奇函數。
• 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間$[-\mathrm{\infty },0]$上是凹函數、在區間$[0,+\mathrm{\infty }]$上是凸函數。

三角學性質

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：

${\mathrm{e}}^z=\cosh z+\sinh z$

${\mathrm{e}}^{-z}=\cosh z-\sinh z$

其與經典的歐拉公式類似。

當$x\in ℝ$時，有以下恆等式:

$\sinh (\mathrm{i}x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}=\mathrm{i}\sin (x)$

$\sinh (x)=-\mathrm{i}\sin (\mathrm{i}x)$

$\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh (x)\sinh (y)$

$\sinh x=2\sinh \left(\frac{x}{2}\right)\cosh \left(\frac{x}{2}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cosh (x/2^n)$

${\sinh }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cosh (x)-1}{2}$

特殊值

雙曲正弦存在一些特殊值：

• $\sinh (0)=0$
• $\sinh (1)=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2\mathrm{e}}$
• $\sinh (\mathrm{i})=\mathrm{i}\sin (1)$
• $\sinh (\ln \phi )=\frac{1}{2}$

其中$\phi$為黃金比例

參見

• 正弦