符号函数

Template:函數 Template:函數圖形 符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ccc}-1& :& x<0\\ 0& :& x=0\\ 1& :& x>0\end{array}$

性质

用艾佛森括號定義：

$\mathrm{sgn}x=-[x<0]+[x>0]$

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

$x=(\mathrm{sgn}x)|x|$

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：

$\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}$

符號函數是絕對值函數的導數：

$\frac{d|x|}{dx}=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x$

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：

$\frac{d\mathrm{sgn}x}{dx}=2\delta (x)$

它和單位步階函數的關係：

$\mathrm{sgn}x=2H_{1/2}(x)-1$

推广到复数

符號函數可以推廣到複數：對於任意$z\in ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}$，

$\mathrm{sgn}z=\frac{z}{|z|}$

对于任何z ∈ $ℂ$，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：

$\mathrm{sgn}z=\exp (i\arg z),$

其中arg表示辐角。
出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：

$\mathrm{sgn}0=\mathrm{sgn}(0+0i)=0.$

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：

$\mathrm{csgn}(z)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }\mathrm{\Re }(z)>0\vee (\mathrm{\Re }(z)=0\wedge \mathrm{\Im }(z)>0),\\ -1& \text{if }\mathrm{\Re }(z)<0\vee (\mathrm{\Re }(z)=0\wedge \mathrm{\Im }(z)<0),\\ 0& \text{if }\mathrm{\Re }(z)=\mathrm{\Im }(z)=0.\end{array}$

即是在一四象限及 xy 轴正半轴為1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点為0。
对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：

$\mathrm{csgn}(z)=\frac{z}{\sqrt{z^2}}=\frac{\sqrt{z^2}}{z}.$