伯努利数

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數學上，白努利數 Template:Math 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為：

Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math.

上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在Template:Math 時有所不同：

• Template:Math 表示第一白努利數 (Template:OEIS2C / Template:OEIS2C)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 Template:Math.
• Template:Math 表示第二白努利數 (Template:OEIS2C / Template:OEIS2C)，又被稱為是「原始的白努利數」 ，在這標準下 Template:Math.

由於對於所有大於Template:Math的奇數 Template:Math白努利數 Template:Math ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"Template:Math"來代表 Template:Math，不過在本文中不會使用如此的簡寫。

等冪求和

Template:Main articles 伯努利數B_n是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中Template:Math：

$S_m(n)=\sum _{k=1}^n{k}^m=1^m+2^m+\cdots +n^m$

這數列和的公式必定是變數為Template:Math，次數為Template:Math次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下：

$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k^{+}{n}^{m+1-k},$

其中Template:Math 為二項式係數。

舉例說，把m取為1，我們有$1+2+...+n=\frac{1}{2}(B_0{n}^2+2B_1^{+}{n}^1)=\frac{1}{2}(n^2+n).$

伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。

伯努利數可以由下列遞歸公式計算：

$\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{j})B_j=m+1$，

初值條件為B₀ = 1，B₁ = 1/2。 或者：$\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{j})B_j=0$，

初值條件為B₀ = 1，B₁ = -1/2。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（e^x − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\frac{x^n}{n!}$。

有時會寫成小寫b_n，以便與貝爾數分別開。

最初21項伯努利數記於OEIS中的數列Template:OEIS link和Template:OEIS link。

可以證明對所有不是1的奇數n有B_n = 0。

數列中乍看起來突兀的B₁₂ = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法。

一些等式

歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

$B_{2k}=2(-1{)}^{k+1}\frac{\zeta (2k)(2k)!}{(2\pi {)}^{2k}}$。

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是B_n/n。

伯努利數的算術性質

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為B_n = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若c_n是B_n/2n的分子，那樣$K_{4n-2}(\mathbb{Z})$的階是−c_2n若n為偶數；2c_2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到B_n上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數B_n的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pB_p−1模p同餘於−1。

p進連續性

伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及$m\equiv nmod{p}^{b-1}(p-1)$，那麼

$(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m}\equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n}{n}mod{p}^b$。

因為$B_n=-n\zeta (1-n)$，這也可以寫成

$(1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)mod{p}^b$，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉$1-p^z$後，對適合模p − 1同餘於某個$a\equiv ̸1modp-1$的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數${\mathbb{Z}}_p$，得出p進ζ函數。

伯努利數的幾何性質

在$n\ge 2$時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若B是B_4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是$2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B$。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

參見

• 等幂求和
• 黎曼ζ函數

外部連結

• 伯努利數網頁 Template:Wayback
• 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄
• 首498個伯努利數 Template:Wayback取自古登堡計劃