单位双曲线

蓝色的是单位双曲线，绿色的是其共轭，红色的是它们的渐近线.

在几何学中，单位双曲线是指笛卡尔平面上满足隐函数 $x^2-y^2=1$ 的点的集合或满足 $y^2-x^2=1$ 的点的集合（互为共轭）. 单位双曲线属于等轴双曲线，有渐近线 $y=x$ 和 $y=-x$，离心率等于 $\sqrt{2}.$

渐近线

Template:Main 通常，曲线的渐近线是指曲线收敛到的直线。在代数几何和代数曲线理论中，引入了射影平面，此时渐近线是指在无穷远处与曲线相切的线.

等轴双曲线$f=x^2-y^2-1$在ℝ²中相应的投影曲线是$F=x^2-y^2-z^2$，与z = 0交于点P = (1 : 1 : 0)和Q = (1 : −1 : 0). P和Q都在F上Template:Link-en，有切线x + y = 0, x − y = 0，即我们熟悉的初等几何中的渐近线.

参数化

单位双曲线的两支上的点分别为 $(\cosh a,\sinh a)$ 和$(-\cosh a,-\sinh a)$ ，取决于双曲角度参数 $a$.

参数化单位双曲线的直接方法之一是利用双曲线xy = 1可以用指数函数：$(e^t,e^{-t})$参数化的特点.

这一双曲线可以通过具有矩阵 $A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ 的线性映射映射到单位双曲线.

$(e^t,e^{-t})A=(\frac{e^t+e^{-t}}{2},\frac{e^t-e^{-t}}{2})=(\cosh t,\sinh t).$

参数t是双曲角度参数，即双曲函数的参量.