正割

Template:Expand Template:函數 正割（Secant，$\sec$）是三角函数的一种。它的定义域是不含$k\pi +\frac{\pi }{2}$（或Template:Math，其中$k$為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$（360°）。

正割是三角函数的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在$2k\pi$（Template:Math）到$2k\pi +\frac{\pi }{2}$（Template:Math）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函数和餘弦函数互為倒數。

在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。

符号史

正割的数学符号为$\sec$，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

File:Rtriangle.svg

直角三角形，$\mathrm{\angle }C$為直角，$\mathrm{\angle }A$的角度為 $\theta$， 對於$\mathrm{\angle }A$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角$\mathrm{\angle }A$的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是：

$\sec \theta =\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left(x,y\right)$是角的终边上一点，$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的正割定义为：

$\sec \alpha =\frac{r}{x}$

单位圆定义

File:Unit circle angles.svg

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于$\sin \theta$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了$\sec \theta =\frac{1}{x}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。 Template:Clear 对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数：

$\sec \theta =\sec (\theta +2\pi k)=\sec (\theta +360^{\circ }k)$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

與其他函數定義

正割函數和餘弦函數互為倒數

即：

$\sec x=\frac{1}{\cos x}$

級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\frac{50521x^{10}}{3628800}+...=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{(2n)!}{x}^{2n}.$

其中$E_n$为欧拉数。

另外，我们也有

$\sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(1-2n)}{(2n\pi -\pi {)}^2-4x^2}=4\pi \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(1+2n)}{(\pi +2n\pi {)}^2-4x^2}.$

微分方程定義

${\sec }^{\prime }x=\sec x\tan x$

$\sec x=(\ln |\sec x+\tan x|)$

指數定義

$\sec \theta =\frac{2}{e^{\mathrm{i}\theta }+e^{-\mathrm{i}\theta }}$

恆等式

用其它三角函数来表示正割

函數	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\sec \theta$	$\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\frac{1}{\cos \theta }$	$\sqrt{1+{\tan }^2\theta }$	$\frac{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}{\cot \theta }$	$\sec \theta$	$\frac{\csc \theta }{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$

和差角公式

$\sec (\theta \pm \psi )=\frac{\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }$

巴罗的正割積分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分

$\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\sec tdt=\ln \tan (\frac{\pi }{4}+\frac{\varphi }{2})$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 餘割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波