同界角

45度的3個同界角

在幾何學中，同界角（Template:Lang-en）是指兩個有向角（有標示起始邊與終邊的角）有著各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一對起始邊與終邊，即共享相同始邊和終邊的角度，但擁有不同的旋轉量，就稱為同界角。同界角擁有相同的三角函數值，因此三角函數具有周期性。每個角皆有無限多個同界角，其量值可以為負，但必須是一個實數。

性質

正轉和逆轉都可以得到相同的角，但他們擁有不同的旋轉量，圖中為45度和─315度

每個同界角皆差360度，換句話說，每360度就會出現一個同界角。每個同界角兩邊的向量內積與外積皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角和最大負同界角。

同界角可以如下定義：

1. 若有兩個角有相同的始邊與終邊，則兩個角互為同界角
2. 若兩角相差360度的整數倍則兩個角互為同界角

同界角存在關係式：

${\theta }_1-{\theta }_2=360^{\circ }k,k\in \mathbb{Z}$

亦可寫為：

${\theta }_1-{\theta }_2=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

或：

$\sin {\theta }_1-\sin {\theta }_2=0$

$\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2=0$

與三角函數關係

從三角函數的周期可以發現，每間隔$2\pi$就會找到相同高度的點，該點即為同界角的三角函數值。

從反三角函數圖形得知反餘弦必得到最小正同界角，而反正弦則有可能得到最小正同界角或最大負同界角

Template:Main 從三角函數的诱导公式可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函數，只要位移為$2\pi$，就會得到相同的函數值，因此$\theta$與$\theta +2\pi$互為同界角。

移位 $\frac{\pi }{2}$	移位 $\pi$ $\tan$ 和 $\cot$ 的周期	移位 $2\pi$ $\sin$、$\cos$、$\csc$ 和 $\sec$ 的周期
$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\frac{\pi }{2})& =+\cos \theta \\ \cos (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\sin \theta \\ \tan (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\cot \theta \\ \cot (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\tan \theta \\ \sec (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\csc \theta \\ \csc (\theta +\frac{\pi }{2})& =+\sec \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\pi )& =-\sin \theta \\ \cos (\theta +\pi )& =-\cos \theta \\ \tan (\theta +\pi )& =+\tan \theta \\ \cot (\theta +\pi )& =+\cot \theta \\ \sec (\theta +\pi )& =-\sec \theta \\ \csc (\theta +\pi )& =-\csc \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\theta +2\pi )& =+\sin \theta \\ \cos (\theta +2\pi )& =+\cos \theta \\ \tan (\theta +2\pi )& =+\tan \theta \\ \cot (\theta +2\pi )& =+\cot \theta \\ \sec (\theta +2\pi )& =+\sec \theta \\ \csc (\theta +2\pi )& =+\csc \theta \end{array}$

另外，從簡單的三角方程中，也可以找到同界角，例如：

考慮方程$\cos (\theta )=k,\theta$有無限多組解，其中$\arccos (k)$為一個解且為最小正同界角，其餘解皆與$\arccos (k)$或是-$\arccos (k)$互為同界角。

但是有例外，如正切和餘切，由於其週期不為360度，如正切函數的周期為180度（即$\pi$），因此相同的函數值未必互為同界角。

最小正同界角與最大負同界角

角的量與最小正同界角（黃）與最大負同界角（藍）的關係

同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中，Template:Invisible anchor在0到$2\pi$（360度）之間的最小正同界角與原始角相同，當原始角為$2\pi$（360度）或$2\pi$（360度）的倍數時，最小正同界角為零；Template:Invisible anchor

參見

• 角
• 角度
• 三角函數