悬链线

不同的悬链线

鐵鏈形式的悬链线。

蜘蛛絲形成多個（近似的）悬链线。

悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。

它的公式为：

$y=a\cosh \frac{x}{a}$或者简单地表示为$y=\frac{a(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})}{2}$

其中cosh是雙曲余弦函数，$a$ 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，$x$軸為其準線。具体来说，$a=\frac{T_0}{g\lambda }$，其中$g$是重力加速度，$\lambda$是线密度（假设绳子密度均匀），而$T_0$是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了$a$

$\frac{L}{a}=\sinh \frac{d}{a}$

其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

方程的推导

表达式的证明

如右图，设最低点$A$处受水平向左的拉力$H$，右悬挂点处表示为$C$点，在$AC$弧线区段任意取一段设为$B$点，则$AB$受一个斜向上的拉力$T$，设$T$和水平方向夹角为$\theta$，绳子的质量为$m$,受力分析有：

$T\sin \theta =mg$；

$T\cos \theta =H$，

$\tan \theta =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mg}{H}$，

$mg=\rho s$，　其中$s$是右段$AB$绳子的长度，$\rho$是绳子线重量密度，$\tan \theta$为切线方向，记$a=\frac{\rho }{H}$, 代入得微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=as$;

利用弧长公式$\mathrm{d}s=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{)}^2}\mathrm{d}x$;

所以$s=\int \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{)}^2}\mathrm{d}x$;

再把$s$代入微分方程得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a\int \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{)}^2}\mathrm{d}x\cdots \cdots (1)$

对于$(1)$设$p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$微分处理

得 $p^{\prime }=\frac{\rho }{H}\sqrt{1+p^2}\cdots \cdots (2)$

其中$p^{\prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$;

对(2)分离常量求积分

$\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int adx$

得$ln(p+\sqrt{1+p^2})=ax+C$，即$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}p=ax+C$

其中$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}p$为反双曲函数;

当$x=0$时，$\frac{dy}{dx}=p=0$；

带入得$C=0$；

整理得$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}p=\frac{\rho x}{H}$

工程中的应用

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，$a$称作悬链-{}-系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

$y=a(\cosh \frac{x}{a}-1)$

还有以下几个公式，可能也有用：

$L=a\sinh \frac{x}{a}$

$\tan \alpha =\sinh \frac{x}{a}$

$F_0=a\gamma$

其中$L$是曲线中某点到0点的链索长度，$\alpha$是该点的正切角，$F_0$是0点处的水平张力，$\gamma$是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。