虚数

$⋮$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^0=1$

$i^1=i$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

$i^5=i$

$i^6=-1$

$⋮$

$i^n=i^{n(\mathrm{mod}4)}$

虛數是指可以写作实数与虚数单位$i$乘积的複數 ，並定義其性質為$i^2=-1$，以此定義，0可被視為同時是實數也是虛數（純虛數）的數值。

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（Template:Lang-fr）一書中，命名其為Template:Lang（虛構的數），成為了虛數（Template:Lang）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

幾何詮釋

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為$iℝ$，Im，$𝕀$，或$\mathrm{\Im }$。

在該呈現圖示中，乘以Template:Math對應於以原點為中心180度的旋轉。$i$的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式$i^2=-1$可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了$-i$也解出了方程$x^2=-1$。一般來說，乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

Template:Further 我們應該將根號視為求$x^2$的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，$\sqrt{-1}$實際上代表的是兩個數，分別為$+i$及$-i$。但若直接將$\sqrt{-1}$對應到$+i$，而$-\sqrt{-1}$對應到$-i$也未嘗不可。

性質

1. 不同的虛數都是不能比較大小的：$1<2$成立，但$1+i<2+i$和$i<2i$卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設$i>0$

平方得$i^2>0$

得$-1>0$即可看出矛盾。

再舉例：假設$i<0$

平方得$i^2>0$（不等式兩側同乘假設為負的$i$，不等式由小於變為大於）

得$-1>0$即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲$i^0=1$，$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，$\cdots$，很容易知道$i^n$（$n\in \mathbb{N}$）是關於指數$n$的週期函數，最小正週期是$4$。於是，我們有

$i^1+i^2+i^3+i^4=0$

這表示$i$為方程$x+x^2+x^3+x^4=0$的一個根，另三個根分別為$-i,-1$及$0$。

另外可以證明

$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

和

$\bar{\omega }=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

爲下列方程的根

$x^2+x+1=0$

$x^3=1$

其中，$\bar{\omega }$稱爲$\omega$的共軛虛數（或共軛複數）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

參見

• 虛數單位
• 複數
• 四元數
• 八元數

外部链接

• 虛數i的介紹
• $i^{7321}$的計算方法舉例
• i作為-1的平方根Template:Dead link