反双曲函数

Template:函數圖形 反双曲函数是双曲函数的反函数。与反圆函数不同之处是它的前缀是ar意即area（面积），而不是arc（弧）。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。

數學符號

符号${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^{-1},{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}}^{-1}$等常用于$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h},\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}$等。但是这种符号有时在${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^{-1}x$和$\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x}$之间易造成混淆。

主值

下表列出基本的反双曲函数。

名称	常用符号	定义	定义域	值域	图像
反双曲正弦	$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x$	$\ln (x+\sqrt{x^2+1})$	$ℝ$	$ℝ$
反双曲余弦	$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x$	$\ln (x\pm \sqrt{x^2-1})$	$[1,+\mathrm{\infty })$	$[0,+\mathrm{\infty })$
反双曲正切	$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$	$(-1,1)$	$ℝ$
反双曲余切	$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}x$	$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$	$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$	$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$
反双曲正割	$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})$	$(0,1]$	$[0,+\mathrm{\infty })$
反双曲余割	$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x$	$\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|})$	$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$	$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$

反双曲函数的导数

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x& =\frac{1}{1-x^2},|x|<1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x& =\frac{1}{1-x^2},|x|>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}},x\in (0,1)\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}},x\text{ ≠ }0\\ \end{array}$

求导范例： 设θ = arsinh x，则：

$\frac{d\mathrm{arsinh}x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sinh \theta }=\frac{1}{\cosh \theta }=\frac{1}{\sqrt{1+{\sinh }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

幂级数展开式

$\mathrm{arsinh}x$

$=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arcosh}x$

$=\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )$

$=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1$

$\mathrm{artanh}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsinh}{x}^{-1}$

$=x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arsech}x=\mathrm{arcosh}{x}^{-1}$

$=\ln \frac{2}{x}-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )$

$=\ln \frac{2}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},0<x\le 1$

$\mathrm{arcoth}x=\mathrm{artanh}{x}^{-1}$

$=x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1$

$\mathrm{arcosh}(2x^2-1)=2\mathrm{arcosh}x$

$\mathrm{arcosh}(2x^2+1)=2\mathrm{arsinh}x$

反双曲函数的不定积分

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arsinh}xdx& =x\mathrm{arsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C\\ \int \mathrm{arcosh}xdx& =x\mathrm{arcosh}x-\sqrt{x^2-1}+C,x>1\\ \int \mathrm{artanh}xdx& =x\mathrm{artanh}x+\frac{1}{2}\ln (1-x^2)+C,|x|<1\\ \int \mathrm{arcoth}xdx& =x\mathrm{arcoth}x+\frac{1}{2}\ln (x^2-1)+C,|x|>1\\ \int \mathrm{arsech}xdx& =x\mathrm{arsech}x+\arcsin x+C,x\in (0,1)\\ \int \mathrm{arcsch}xdx& =x\mathrm{arcsch}x+|\mathrm{arsinh}x|+C,x\ne 0\end{array}$

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

外部链接

• Inverse trigonometric functionsTemplate:Wayback at MathWorld

参见

• 双曲函数