特殊酉群

Template:NoteTA Template:GroupsTemplate:李群 在数学中，$n$ 阶特殊酉群（Template:Lang-en），记作 $\mathrm{SU}(n)$，是行列式为 1 的 $n\times n$ 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 $n\times n$ 酉矩阵组成的酉群 $\mathrm{U}(n)$ 的一个子群，酉群又是一般线性群 $\mathrm{GL}(n,ℂ$) 的一个子群。

群 $\mathrm{SU}(n)$ 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 $\mathrm{SU}(2)$ 在电弱相互作用与 $\mathrm{SU}(3)$ 在量子色动力学中。

最简单的情形 $\mathrm{SU}(1)$，是平凡群，只有一个元素。群 $\mathrm{SU}(2)$ 同构于範數为 $1$ 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 $\mathrm{SU}(2)$ 到旋转群 $\mathrm{SO}(3)$，其核为 $\{+I,-I\}$。

性质

特殊酉群 SU(n) 是一个 n²-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Z_n。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z₂，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n² 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

$[{\hat{O}}_{ij},{\hat{O}}_{kl}]={\delta }_{jk}{\hat{O}}_{il}-{\delta }_{il}{\hat{O}}_{kj}$

另外，算子

$\hat{N}=\sum _{i=1}^n{\hat{O}}_{ii}$

满足

$[\hat{N},{\hat{O}}_{ij}]=0$

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n²-1。

生成元

一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

• $\mathrm{tr}(T_a)=0,$

以及

• $T_a=T_a^{†}.$

基本表示

在定义或基本表示中，由 $n\times n$ 矩阵表示的生成元是：

• $T_a{T}_b=\frac{1}{2n}{\delta }_{ab}{I}_n+\frac{1}{2}\sum _{c=1}^{n^2-1}(i{f}_{abc}+d_{abc})T_c$

这里系数 $f$ 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 $d$ 对所有指标都是对称的。

从而

• ${[T_a,T_b]}_{+}=\frac{1}{n}{\delta }_{ab}+\sum _{c=1}^{n^2-1}{d}_{abc}{T}_c$
• ${[T_a,T_b]}_{-}=i\sum _{c=1}^{n^2-1}{f}_{abc}{T}_c$

我们也有

• $\sum _{c,e=1}^{n^2-1}{d}_{ace}{d}_{bce}=\frac{n^2-4}{n}{\delta }_{ab}$

作为一个正规化约定。

伴随表示

在伴随表示中，生成元表示由 $(n^2-1)\times (n^2-1)$ 矩阵表示，其元素由结构常数定义：

• $(T_a{)}_{jk}=-i{f}_{ajk}$

SU(2)

${\mathrm{SU}}_2(ℂ)$ 一个一般矩阵元素形如

$U=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right)$

这里 $\alpha ,\beta \in ℂ$ 使得 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。我们考虑如下映射 $\phi :{ℂ}^2\to \mathrm{M}(2,ℂ)$，（这里 $\mathrm{M}(2,ℂ)$ 表示 2×2 复矩阵集合），定义为

$\phi (\alpha ,\beta )=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right).$

考虑到 ${ℂ}^2$ 微分同胚于 ${ℝ}^4$ 和 $\mathrm{M}(2,ℂ)$ 同胚于 ${ℝ}^8$，我们可看到 $\phi$ 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 $\phi$ 限制在三维球面上，记作 $S^3$，我们可发现这是三维球面到 $\mathrm{M}(2,ℂ)$ 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 $\phi (S^3)={\mathrm{SU}}_2(ℂ)$，作为一个流形微分同胚于 ${\mathrm{SU}}_2(ℂ)$，使 ${\mathrm{SU}}_2(ℂ)$ 成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 ${𝔰𝔲}_2(ℂ)$，一个一般元素形如

$U^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}ix& -\bar{\beta }\\ \beta & -ix\end{array}\right)$

这里 $x\in ℝ$ 以及 $\beta \in ℂ$。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

$u_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)u_2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)u_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 $u_3{u}_2=-u_2{u}_3=u_1$ 和 $u_2{u}_1=-u_1{u}_2=u_3$。从而交换子括号由

$[u_1,u_3]=2u_2,[u_2,u_1]=2u_3,[u_3,u_2]=2u_1.$

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，$u_1=i{\sigma }_1$, $u_2=-i{\sigma }_2$ 及 $u_3=i{\sigma }_3$。

SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{\sqrt{2}}.$

这里 $\lambda$ 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

• $[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c$

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

$f^{123}=1$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}=\frac{1}{2}$

$f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

d 的取值：

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}=\frac{1}{2}$

李代数

$\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ 对应的李代数记作 $𝔰𝔲(n)$。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 $n\times n$ 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 $i$，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 $𝔰𝔲(n)$ 是 $ℝ$ 上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 $𝔰𝔲(2)$ 在 $ℝ$ 上的一组基：

$i{\sigma }_x=\left[\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right]$

$i{\sigma }_y=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

$i{\sigma }_z=\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right]$

（这里 $i$ 是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 $i$）一起

$i{I}_2=\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& i\end{array}\right]$

它们也是 $𝔰𝔲(2)$ 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_3$，而在交换子括号下生成李代数 $𝔰𝔲(2)$。

回到一般的 $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 $n\times n$ 矩阵子空间组成一个 $n-1$ 维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 $n\times n$ 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 $\mathrm{h}$ 只是 $n-1$ 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 $i$ 个基向量是在第 $i$ 个对角元素为 $1$ 而在其它处为零的矩阵。则权由 $n$ 个坐标给出，而且在所有 $n$ 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ 的秩是 $n-1$，它的邓肯图由 $A_{n-1}$ 给出，有 $n-1$ 个顶点的链。

它的根系由 $n(n-1)$ 个根组成，生成一个 $n-1$ 欧几里得空间。这里，我们使用 $n$ 冗余坐标而不是 $n-1$ 坐标来强调根系的对称（$n$ 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 $n-1$ 维向量空间嵌入 $n$-维中。则根由所有 $n(n-1)$ 置换 $(1,-1,0,\dots ,0)$。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

$(1,-1,0,\dots ,0)$,

$(0,1,-1,\dots ,0)$,

…,

$(0,0,0,\dots ,1,-1)$.

它的嘉当矩阵是

$\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& 0& \dots & 0\\ -1& 2& -1& \dots & 0\\ 0& -1& 2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 2\end{array}\right)$.

它的外尔群或考克斯特群是对称群 $S_n$，$(n-1)$-单形的对称群。

广义特殊酉群

对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

$M\in SU(p,q,R)$

满足

$M^{*}AM=A$

$\det M=1.$

经常可以见到记号 $S{U}_{p,q}$ 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& i\\ 0& I_{n-2}& 0\\ -i& 0& 0\end{array}\right].$

对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 $H{C}^2$ 上作用的基本-{域}-，参见 [1]。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

重要子群

在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：

$SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).$

为了完整性，还有正交与辛子群：

$SU(n)\supset O(n)$

$SU(2n)\supset USp(2n).$

因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：

$SO(2n)\supset SU(n)$

$USp(2n)\supset SU(n)$

$Spin(4)=SU(2)\times SU(2)$（参见自旋群）

$E_6\supset SU(6)$

$E_7\supset SU(8)$

$G_2\supset SU(3)$（关于 E₆, E₇ 与 G₂ 参见单李群）。

有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

相关条目

• SU(2)的表示论
• 射影特殊酉群 PSU(n)
• 埃尔米特矩阵
• 辛矩阵
• 酉群
• 酉算子
• 矩阵分解

参考文献

• Template:Cite book
• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups Template:Wayback

外部链接

• Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 Template:Wayback