虛數單位

虛數單位$i$在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

Template:高斯整數導航 Template:Numbers 在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程$x^2+1=0$的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統$ℝ$延伸至复数系統$ℂ$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式$x^2+1=0$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為$i$，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为$j$，这是为了避免与电流（记为$i(t)$或$i$）相混淆。

定義

$\dots$

Template:計算結果

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$\dots$

虛數單位$i$定義為二次方程式$x^2+1=0$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

Template:計算結果。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號$i$。很重要的一點是，Template:Root是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

Template:計算結果

然而Template:計算結果往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為$-1=i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times \left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{(-1)\times (-1)}=\sqrt{1}=1$，但是-1不等於1。

但請注意：$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$成立的條件有$a$,$b$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設$i$是一個未知數，然後依照$i$的定義，替代任何$i^2$的出現為-1。$i$的更高整數冪數也可以替代為$-i$，$1$，或$i$，根據下述方程式：

$i^3=i^{2}i=(-1)i=-i$，

$i^4=i^{3}i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1$，

$i^5=i^{4}i=(1)i=i$。

一般地，有以下的公式：

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^n=i^{nmod4}$

其中$mod4$表示被4除的余数。

Template:Math和Template:Math

方程$x^2=-1$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解$i$，那么$-i$（不等于$i$）也是一个解，由于这个方程是$i$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为$i$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然$-i$和$i$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是$i$和$-i$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

$-i^2=1$

$-i=i^{-1}=\frac{1}{i}$

正当的使用

虚数单位有时记为$\sqrt{-1}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$仅对于非负的实数$a$和$b$才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

$-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$（不正确）

$-1=i\cdot i=\pm \sqrt{-1}\cdot \pm \sqrt{-1}=\pm \sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\pm \sqrt{1}=\pm 1$（不正确）

$\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{-1}=i$（不正确）

Template:Math的运算

虛數單位$i$的平方根在複平面的位置

许多实数的运算都可以推广到$i$，例如平方根、冪、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与$i$有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• $i$的平方根为：

$\pm (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

这是因为：

$\begin{array}{cc}{[\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)]}^2& ={(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})}^2(1+i{)}^2\\ & =\frac{1}{2}(1+2i+i^2)\\ & =\frac{1}{2}(1+2i-1)\\ & =i\end{array}$

使用算术平方根符号表示：

$\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

其解法為先假設兩實數$x$及$y$，使得$(x+iy{)}^2=i$，求解$x,y$

• 一个数的$ni$次幂为：

$x^{ni}=\cos \ln x^n+i\sin \ln x^n$

一个数的$ni$次方根为：

$\sqrt[ni]{x}=\cos \ln \sqrt[n]{x}-i\sin \ln \sqrt[n]{x}$

利用歐拉公式

$i^i={\left[e^{i(\frac{\pi }{2}+2k\pi )}\right]}^i=e^{i^2(\frac{\pi }{2}+2k\pi )}=e^{-(\frac{\pi }{2}+2k\pi )}$，$k\in \mathbb{Z}$

代入不同的$k$值，可計算出無限多的解。当$k=0$最小的解是$e^{-\frac{\pi }{2}}\approx$Template:Root...

• 以$i$为底的对数为：

${\log }_{i}x=\frac{2\ln x}{i\pi }$

• $i$的余弦是一个实数：

$\cos i=\cosh 1=\frac{e+\frac{1}{e}}{2}=\frac{e^2+1}{2e}\approx$Template:計算...

• $i$的正弦是纯虚数：

$\sin i=i\sinh 1=\frac{e-\frac{1}{e}}{2}i=\frac{e^2-1}{2e}i\approx$Template:計算...$i$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128。

参见

• 代數基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）Template:Dead link
• $i^{7321}$的計算方法舉例（英文視頻）