矩陣乘法

数学中，矩阵乘法（Template:Lang-en）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（Template:Lang-en）。设$A$是$n\times m$的矩阵，$B$是$m\times p$的矩阵，则它们的矩阵积$AB$是$n\times p$的矩阵。$A$中每一行的$m$个元素都与$B$中对应列的$m$个元素对应相乘，这些乘积的和就是$AB$中的一个元素。

矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。

一般矩陣乘積

矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的Template:地区用词和第二個矩陣的Template:地区用词相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若$A$為$m\times n$矩陣，$B$為$n\times p$矩陣，則他們的乘積$AB$(有時記做$A\cdot B$）會是一個$m\times p$矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：

$(AB{)}_{ij}=\sum _{r=1}^n{a}_{ir}{b}_{rj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$

以上是用矩陣單元的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解，運算結果相等：

由定義直接計算

左邊的圖表示出要如何計算$AB$的$(1,2)$和$(3,3)$元素，當$A$是個$4\times 2$矩陣和B是個$2\times 3$矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。

$(AB{)}_{1,2}=\sum _{r=1}^2{a}_{1,r}{b}_{r,2}=a_{1,1}{b}_{1,2}+a_{1,2}{b}_{2,2}$

$(AB{)}_{3,3}=\sum _{r=1}^2{a}_{3,r}{b}_{r,3}=a_{3,1}{b}_{1,3}+a_{3,2}{b}_{2,3}$

向量方法

這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把向量和各係數相乘後相加起來。設$𝐀$和$𝐁$是兩個給定如下的矩陣：

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots \\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{A}_1& A_2& \dots \end{array}\right],$ $𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots \\ b_{2,1}& b_{2,2}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ ⋮\end{array}\right]$

其中

$A_1$是由所有$a_{x,1}$元素所组成的向量(column)，$A_2$是由所有$a_{x,2}$元素所组成的向量，以此类推。

$B_1$是由所有$b_{1,x}$元素所组成的向量(row)，$B_2$是由所有$b_{2,x}$元素所组成的向量，以此类推。

則

$𝐀𝐁=\left[\begin{array}{c}{a}_{1,1}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots \end{array}\right]+a_{1,2}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{2,1}& b_{2,2}& \dots \end{array}\right]+\cdots \\ \\ a_{2,1}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots \end{array}\right]+a_{2,2}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{2,1}& b_{2,2}& \dots \end{array}\right]+\cdots \\ ⋮\end{array}\right]=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\dots$

舉個例子來說：

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\left[\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\\ -1\left[\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 0\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}-3& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}6& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]$

左面矩陣的列為為係數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。

向量表方法

一般矩陣乘積也可以想為是行向量和列向量的內積。若$𝐀$和$𝐁$為給定如下的矩陣：

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \dots \\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \dots \\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ ⋮\end{array}\right]$且$𝐁=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& b_{1,3}& \dots \\ b_{2,1}& b_{2,2}& b_{2,3}& \dots \\ b_{3,1}& b_{3,2}& b_{3,3}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& B_3& \dots \end{array}\right]$

其中，这里

$A_1$是由所有$a_{1,x}$元素所組成的向量，$A_2$是由所有$a_{2,x}$元素所組成的向量，以此類推。

$B_1$是由所有$b_{x,1}$元素所組成的向量，$B_2$是由所有$b_{x,2}$元素所組成的向量，以此類推。

则

$𝐀𝐁=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ ⋮\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& B_3& \dots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}(A_1\cdot B_1)& (A_1\cdot B_2)& (A_1\cdot B_3)& \dots \\ (A_2\cdot B_1)& (A_2\cdot B_2)& (A_2\cdot B_3)& \dots \\ (A_3\cdot B_1)& (A_3\cdot B_2)& (A_3\cdot B_3)& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$

即

${\left(𝐀𝐁\right)}_{ij}=A_i{B}_j$

性質

矩陣乘法是不可交換的（即$AB\ne BA$），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。

雖然矩陣乘法是不可交換的，但$AB$和$BA$的行列式總會是一樣的（當$A$、$B$是同樣大小的方陣時）。

當$A$、$B$可以被解釋為線性算子，其矩陣乘積$AB$會對應為兩個線性算子的複合函數，其中B先作用。

在試算表中做矩陣乘法

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]$

以 Google Sheet 為例，選取儲存格範圍或者使用陣列，在儲存格輸入

=MMULT({1,0,2;-1,3,1},{3,1;2,1;1,0})

在某些試算表軟體中必須必須按Template:Keypress 將儲存格內的變數轉換為陣列

純量乘積

矩陣$A=(a_{ij})$和純量$r$的純量乘積$rA$的矩陣大小和$A$一樣，$rA$的各元素定義如下：

$(rA{)}_{ij}=r\cdot a_{ij}$

若我們考慮於一個環的矩陣時，上述的乘積有時會稱做左乘積，而右乘積的則定義為

$(Ar{)}_{ij}=a_{ij}\cdot r$

當環是可交換時，例如實數體或複數體，這兩個乘積是相同的。但無論如何，若環是不可交換的話，如四元數，他們可能會是不同的。例如，

$i\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& k\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right]i$

阿達馬乘積

Template:Seealso 給定兩個相同維度的矩陣可計算有阿達馬乘積（Template:Lang），或稱做逐項乘積、分素乘積（element-wise product, entrywise product）。兩個$m\times n$矩陣$A$、$B$的阿達馬乘積標記為$A\circ B$，定義為 $(A\circ B{)}_{ij}=a_{ij}{b}_{ij}$的$m\times n$矩陣。例如，

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 7& 5& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 0& 3\cdot 0& 2\cdot 2\\ 1\cdot 7& 0\cdot 5& 0\cdot 0\\ 1\cdot 2& 2\cdot 1& 2\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 7& 0& 0\\ 2& 2& 2\end{array}\right]$

需注意的是，阿達馬乘積是克羅內克乘積的子矩陣。

克羅內克乘積

給定任兩個矩陣$A$和$B$，可以得到兩個矩陣的直積，或稱為克羅內克乘積$A\otimes B$，其定義如下

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]$

當$A$是一$m\times n$矩陣和$B$是一$p\times r$矩陣時，$A\otimes B$會是一$mp\times nr$矩陣，而且此一乘積也是不可交換的。

舉個例子，

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 3& 2\cdot 0& 2\cdot 3\\ 1\cdot 2& 1\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 3\cdot 0& 3\cdot 3& 1\cdot 0& 1\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot 1& 1\cdot 2& 1\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right]$

若$A$和$B$分別表示兩個線性算子$V_1\to W_1$和$V_2\to W_2$，$A\otimes B$便為其映射的張量乘積，$V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2$

共同性質

上述三種乘積都符合結合律：

$A(BC)=(AB)C$

以及分配律：

$A(B+C)=AB+AC$

$(A+B)C=AC+BC$

而且和純量乘積相容：

$c(AB)=(cA)B$

$(Ac)B=A(cB)$

$(AB)c=A(Bc)$

注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換（即純量體為一可交換環）時會相同。

另見

• Strassen演算法（1969）
• Winograd演算法（1980）
• Coppersmith–Winograd演算法（1990）
• 邏輯矩陣
• 矩陣鏈乘積
• 逆矩陣
• 關係複合
• BLAS
• 矩陣加法
• 矩阵微积分

外部連結

• WIMS Online Matrix Multiplier Template:Wayback
• Animated Matrix Multiplication Examples (purplemath) Template:Wayback

• Matrix Multipication in Javascript Template:Wayback（works in Firefox）

參考

其它参考文献包括：

• Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
• Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
• Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
• Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.