盖尔曼矩阵

盖尔曼矩阵，以物理學家默里·蓋爾曼命名，為SU(3)群無窮小生成元的一種表象。此群的李代數維度為8，因此有8組線性獨立的生成元，可寫為 $g_{i}$ ，i值從1到8。

特殊表象

$λ_{i}$ （i=1到8）表示如下：^[1]Template:Rp

$λ_{1} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$	$λ_{2} = [\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$	$λ_{3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$
$λ_{4} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$	$λ_{5} = [\begin{matrix} 0 & 0 & - i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{matrix}]$
$λ_{6} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$	$λ_{7} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix}]$	$λ_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}]$

这八个 $λ_{i}$ 矩阵是厄米的，满足对易关系：

[g_{i}, g_{j}] = i f^{i j k} g_{k}

其中，

g_{i} = \frac{λ_{i}}{2}

上面出现的 $g_{i}$ 是按照“归一化”条件

T r (g_{i} g_{i}) = 1 / 2

重新定义的盖尔曼矩阵，是物理中常用的归一化形式。

$f^{i j k}$ 关于三个指标i,j,k，是全反对称的。它们的非零分量为

f^{123} = 1, f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2}, f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Howard Georgi，Lie algebras in particle physics，ISBN 0-7382-0233-9
George Arfken，Hans Weber，Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. ISBN 0123846544
J. J. J. Kokkedee，The quark model，Frontiers in physics，ISBN 0805356118