辛矩陣

Template:NoteTA 在數學中，扭對稱矩阵是指一個$2n\times 2n$的矩阵M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足

$M^T\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }$。

其中$M^T$表$M$的轉置矩陣，而$\mathrm{\Omega }$是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

或

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\end{array}\right]$

兩者的差異僅在於基的置換，其中$I_n$是$n\times n$ 單位矩陣。此外，$\mathrm{\Omega }$ 行列式值等於一，且其逆矩陣等於$-\mathrm{\Omega }$。

性質

凡扭對稱矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為

$M^{-1}={\mathrm{\Omega }}^{-1}{M}^T\mathrm{\Omega }$

其中，反對稱矩陣$\mathrm{\Omega }$具有如下運算性質：

${\mathrm{\Omega }}^T=-\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}^{-1}$ ,

${\mathrm{\Omega }}^T\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^T=I_{2n}$ ,

$\mathrm{\Omega }\mathrm{\Omega }=-I_{2n}$ ,

$det(\mathrm{\Omega })=1$ 。

此外，扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域$F$上的所有$2n$階扭對稱矩阵構成一個群，記為$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,F)$。事實上它是$\mathrm{G}\mathrm{L}(2n,F)$的閉代數子群，其維度為$n(2n+1)$。當$F=ℝ,ℂ$時，$\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,F)$帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於$\pm 1$；事實上，可以利用普法夫值的公式：

$\text{Pf}(M^T\mathrm{\Omega }M)=\det (M)\text{Pf}(\mathrm{\Omega })$。

由於$M^T\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }$、$\text{Pf}(\mathrm{\Omega })\ne 0$，遂導出$det(M)=1$。

當$n=1$時，有$\mathrm{S}\mathrm{p}(2)=\mathrm{S}\mathrm{L}(2)$。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換

在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間$V$上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形$\omega :V\times V\to F$以取代矩陣$\mathrm{\Omega }$（賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

定義。一個扭對稱向量空間$(V,\omega )$上的線性變換$L:V\to V$若滿足

$\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)$。

則稱$L$為扭對稱變換。

考慮$\eta :={\wedge }^{\frac{\dim V}{2}}\omega$，由於$L^{*}(\omega )=\omega$，故$L^{*}(\eta )=\eta$；另一方面，$L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta$，於是得到$\det L=1$。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定$V$的一組基，藉此將$L$寫成矩陣$M$，並將$\omega$表成斜對稱矩陣$\mathrm{\Omega }$，便回到先前的定義：

$M^T\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }$。

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外部連結

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