單位矩陣

Template:NoteTA Template:ScienceNavigation Template:Other uses 在線性代數中，$n$階單位矩陣，是一個$n\times n$的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以$I_n$表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為$I$（或者$E$）。

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

一些數學書籍使用$U$和$E$（分別意為單位矩陣（unit matrix）和基本矩陣（Einheitsmatrix）），不過$I$更加普遍。

特別是單位矩陣作為所有$n$階矩陣的環的單位，以及作為由所有$n$階可逆矩陣構成的一般線性群$GL(n)$的單位元（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。

這些$n$階矩陣經常表示來自$n$維向量空間自己的線性變換，$I_n$表示恆等函數，而不理會基。

有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作：

$I_n=\mathrm{diag}(1,1,...,1)$

也可以克羅內克爾δ記法寫作：

$(I_n{)}_{ij}={\delta }_{ij}$

性质

根據矩陣乘法的定義，單位矩陣$I_n$的重要性質為：

$A{I}_n=A$且$I_{n}B=B$

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重數 $n$。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为$n$。