嘉當矩陣

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。

李代數

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 $A = (a_{i j})$ ：

各項皆為整數： $\forall i, j, a_{i j} \in ℤ$ 。
對角線上的項等於二： $\forall i, a_{i i} = 2$ 。
非對角線項非正： $i \neq j \Rightarrow a_{i j} \leq 0$
$\forall i, j, a_{i j} = 0 \Leftrightarrow a_{j i} = 0$ 。
存在正對角方陣 $D$ 使 $A$ 可以寫成 $D S D^{- 1}$ ，其中 $S$ 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取 $S$ 為正定，則稱 $A$ 為嘉當矩陣。

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛： $A^{'} = P^{- 1} A P$ ，則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數可以得到根系，對應的廣義嘉當矩陣定義為

a_{i j} = \frac{2 (r_{i}, r_{j})}{(r_{i}, r_{i})}

其中 $r_{i}$ 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 $n$ 個頂點（n 為嘉當矩陣 $A$ 的階數），將頂點 $i, j$ 以 $a_{i j} \cdot a_{j i}$ 條邊相連。定義每個頂點的權 $w_{i}$ 使得 $w_{j} / w_{i} = a_{i j} / a_{j i}$ ，若兩個相鄰頂點 $i, j$ 的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論

對於域 $F$ 上的有限維結合代數 $A$ ，考慮不可約、 $F$ -有限維左 $A$ -模 $N_{1}, \dots, N_{n}$ ，對每個 $1 \leq i \leq n$ ，存在唯一的不可分解左射影模 $P_{i}$ （至多差一個同構），使得 $H o m (P_{i}, N_{i}) \neq {0}$ 。取 $c_{i j}$ 為 $N_{j}$ 在 $P_{i}$ 的合成列中作為合成因子的重數。方陣 $C : = (c_{i j})$ 稱為 $A$ 的嘉當矩陣。

參考資料

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