交換子

Template:Unreferenced Template:Expand Template:NoteTA 在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是群G中的元素，他們的交換子是g⁻¹ h⁻¹ gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

群論

群 Template:Mvar中两个元素Template:Mvar和Template:Mvar的交换子为元素

它等于群的幺元当且仅当Template:Mvar和Template:Mvar可交换（即Template:Math）。

环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：

[a, b] = a b - b a .

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}

；

其中； $\hat{A}$ 、 $\hat{B}$ 均为量子力学的算符， $[\hat{A}, \hat{B}]$ 是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称 $\hat{A}$ 、 $\hat{B}$ 是对易的，即意味着 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力學中，交換子有以下特性:

[\hat{A}, \hat{B}] = - [\hat{B}, \hat{A}]

[\hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}] + [\hat{A}, \hat{C}], [\hat{A} + \hat{B}, \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{C}] + [\hat{B}, \hat{C}]

[\hat{A}, \hat{B} \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}] \hat{C} + \hat{B} [\hat{A}, \hat{C}], [\hat{A} \hat{B}, \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{C}] \hat{B} + \hat{A} [\hat{B}, \hat{C}]

[\hat{A}, {\hat{A}}^{n}] = 0, n = 1, 2, 3 . . .

[k \hat{A}, \hat{B}] = [\hat{A}, k \hat{B}] = k [\hat{A}, \hat{B}]

[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] + [\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]] + [\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] = 0

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下， $\hat{x}$ 是位置算符、 $\hat{p}$ 是动量算符、 $\hat{L}$ 是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而 $δ_{i j}$ 是克罗内克δ、 $ϵ_{i j k}$ 是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系	更具体的形式
$[{\hat{x}}_{i}, {\hat{x}}_{j}] = 0$	$[\hat{x}, \hat{x}] = 0$ 、 $[\hat{x}, \hat{y}] = 0$
$[{\hat{p}}_{i}, {\hat{p}}_{j}] = 0$	$[{\hat{p}}_{x}, {\hat{p}}_{x}] = 0$ 、 $[{\hat{p}}_{x}, {\hat{p}}_{y}] = 0$
$[{\hat{x}}_{i}, {\hat{p}}_{j}] = i ℏ δ_{i j}$	$[\hat{x}, {\hat{p}}_{x}] = i ℏ$ 、 $[\hat{x}, {\hat{p}}_{y}] = 0$ 、 $[\hat{y}, {\hat{p}}_{x}] = 0$ 、 $[\hat{y}, {\hat{p}}_{y}] = i ℏ$
$[{\hat{L}}_{i}, {\hat{L}}_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} {\hat{L}}_{k}$	$[{\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}] = i ℏ {\hat{L}}_{z}$ 、 $[{\hat{L}}_{y}, {\hat{L}}_{z}] = i ℏ {\hat{L}}_{x}$ 、 $[{\hat{L}}_{z}, {\hat{L}}_{x}] = i ℏ {\hat{L}}_{y}$

物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：

[x, p] = i ℏ

上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而 $[x, p] = x p - p x$ 為所謂 $x$ 與 $p$ 的交換算符， $i$ 是虛數單位， $ℏ$ 為約化普朗克常數，等於 $h / 2 π$ 。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數 $i ℏ$ 換成 $1$ ：

{x, p} = 1

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量 $f, g$ 其量子對應項 $\hat{f}, \hat{g}$ 應滿足

[\hat{f}, \hat{g}] = i ℏ \hat{{f, g}}

。

於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。