向量空间

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。

正式定義

給定域 $(K,+,\times )$ 和某集合 $V$ ，它們具有了以下兩種运算（函数）：

• 向量加法 $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,v)$ 慣例上簡記為 $u\oplus v$ ）
• 标量乘法 $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot (a,v)$ 慣例上簡記為 $a\cdot v$ 甚至是 $av$ ）

且這兩種運算滿足：（特別注意 $+$ 和 $\times$ 是域 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

名稱		前提條件	內容
向量加法	的单位元與逆元素	存在 $V$ 的元素 $e\in V$ 對所有 $u\in V$	有 $e\oplus u=u\oplus e=u$
			且存在 $w\in V$ 使得 $w\oplus u=u\oplus w=e$
	的结合律	對所有 $u,v,w\in V$	$u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w$
	的交换律	對所有 $u,v\in V$	$u\oplus v=v\oplus u$
标量乘法	的单位元	對所有 $u\in V$	若 $1_K\in K$ 是 $K$ 的乘法单位元，則 $1_K\cdot u=u$
	对向量加法的分配律	對所有 $u,v\in V$ 和所有 $a\in K$	$a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v$
	对域加法的分配律	對所有 $u\in V$ 和所有 $a,b\in K$	$(a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u$
	与域乘法		$a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v$

這樣稱 「 $V$ 為定義在域 $K$ 上的向量空間」，而 $V$ 裡的元素 $u\in V$ 被稱為向量；域 $K$ 裡的元素 $a\in K$ 被稱為标量。這樣域 $K$ 就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將 $K$ 暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 $\oplus$ 也可以簡寫成 $+$ 。

前四個條件規定 $(V,\oplus )$ 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 $(K,+,\times )$ 是個域，且 $V$ 是一個 $K-$模」。

基本性质

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

Template:Math theorem 以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 $0_V$ 代表「向量加法 $\oplus$ 的唯一單位元」，並稱之為 $V$ 的零向量。

在不跟标量域的加法單位元 $0_K\in K$ 混淆的情況下，零向量 $0_V\in V$ 也可以簡寫成 $0$ 。 Template:Math theorem 以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 $u^{-1}$ 代表「向量 $u$ 在向量加法 $\oplus$ 下的唯一逆元素」，甚至可以把 $v\oplus u^{-1}$ 簡記為 $v\ominus u$ ，並暱稱為向量減法。在不跟标量的加法混淆的情況下， $u^{-1}$ 也可記為 $-u$ ； $v\ominus u$ 也可記為 $v-u$ 。

額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

例子

對一般域Template:Math，Template:Math记為Template:Math-向量空間。若Template:Math是實數域Template:Math，则Template:Math稱為實數向量空間；若Template:Math是複數域Template:Math，则Template:Math稱為複數向量空間；若Template:Math是有限域，则Template:Math稱為有限域向量空間。

最简单的Template:Math-向量空間是Template:Math自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当Template:Math是实数域Template:Math时，可以验证对任意实数Template:Math、Template:Math以及任意实数Template:Math、Template:Math、Template:Math，都有：

1. Template:Math，
2. Template:Math，
3. 零元素存在：零元素Template:Math满足：对任何的向量元素Template:Math，Template:Math，
4. 逆元素存在：对任何的向量元素Template:Math，它的相反数Template:Math就满足Template:Math。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：Template:Math.
6. 向量乘法对标量加法满足分配律：Template:Math.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：Template:Math。
8. 标量乘法有單位元：Template:Math中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数Template:Math，Template:Math。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点$P$都有一个坐标$P(x,y)$，并对应着一个向量$(x,y)$。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组$(x,y)$。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为$v=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，其中的$a_1,a_2,\cdots ,a_n$都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

$\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,v=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in {ℝ}^n,w=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\in {ℝ}^n$， $v+w=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)+(b_1,b_2,\cdots ,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n)$ $\lambda v=\lambda (a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots ,\lambda a_n)$

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合$ℝ[X]$。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，$ℝ[X]$也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合$𝒞(ℝ,ℝ)$也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

$3x+2y-z=0$

$x+5y+2z=0$

如果$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$都是解，那么可以验证它们的“和”$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$也是一组解，因为：

$3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=(3x_1+2y_1-z_1)+(3x_2+2y_2-z_2)=0$

$(x_1+x_2)+5(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)=(x_1+5y_1+2z_1)+(x_2+5y_2+2z_2)=0$

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

$f^{″}+4x{f}^{\prime }+\cos (x)f=0$

出于和上面类似的理由，方程的两个解$f_1$和$f_2$的和函数$f_1+f_2$也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间$0$。

給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：$𝐁=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n,\cdots \}$，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

$v={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_n{e}_n+\cdots$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基$𝐁=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

$v={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_n{e}_n$

那么v可以用数组$v=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_1=(1,0,\cdots ,0)$ $e_2=(0,1,\cdots ,0)$ $e_n=(0,0,\cdots ,1)$

可以证明，存在从任意一个n维的$𝐅$-向量空间到空间${𝐅}^n$的双射。这种关系称为同构。

線性映射

給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

$f:V\to W$ $\mathrm{\forall }a\in F,u,v\in V,f(u+v)=f(u)+f(v),f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$

所有线性变换的集合记为$ℒ(V,W)$，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，$ℒ(V,W)$中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构$f:V\to W$，那么其逆映射$g:W\to V$也存在，并且对所有的$x\in V,y\in W$，都有：

$g\circ f(x)=x,f\circ g(y)=y$

參考文獻

• 《中国大百科全书》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8