实变函数论

方波的傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具

實分析，也称为實數分析、实变函数论（Template:Lang-en、Template:Lang-en），是處理實數及实函数的數學分析。專門研究實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性、光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。

內容

實數的構造

Template:Main article 有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理，將實數變成完備有序域。在一般集合论的公理下，可以證明這些公理都是明確的，也就是說有一個公理的模型，任兩個模型都是同构的。這些模型中需要有一個有明確的定義，而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

實數的有序性

實數有許多重要的特性是和數學中格的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成有序域，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於全序关系，而且實數有最小上界性。實數中的偏序关系帶來了實變分析中許多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的数学对象。特別是許多泛函分析及算子理論中的概念是來自實數中概念的擴展，這類的擴展包括Template:Le及Template:Le的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部，例如算子數列的Template:Le。

序列

Template:Main article 序列是一個定義域為可數全序集合的函数，多半會讓定義域是自然數或是所有整數。例如，一個實數的序列為以下定義的映射$a:\mathbb{N}\to ℝ,n\mapsto a_n$，常會表示為$(a_n)=(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(a_1,a_2,a_3,\cdots )$。若一序列會慢慢的接近一個极限（也就是存在$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ ），稱此序列為收斂，否則則稱此序列為發散。

極限

Template:Main article 極限是指函数或序列在其輸入接近一定值時，其輸出數值所接近的特定定值。極限是微积分学及廣義数学分析的基礎，連續函數、导数及积分也是利用極限來定義。

連續函數

Template:Main article 若函数的輸入及輸出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略來說，若函数图形是一條連續未分割的曲线，其中沒有「洞」或是「斷點」，函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義，在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等价的，因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續，在以下的定義中

$f:I\to 𝐑.$

是一個定義在實數$𝑹$以內子集的函數，子集$I$稱為函數$f$的定義域。子集$I$的一些可能選擇包括$I=𝑹$（所有實數）、以下的開區間

$I=(a,b)=\{x\in 𝐑|a<x<b\},$

或閉區間

$I=[a,b]=\{x\in 𝐑|a\le x\le b\}.$

因此$a$及$b$是實數。

一致连续是連續函數中，比連續函數更強的性質。若X和Y是實數子集，函數$f:X\to Y$為一致连续的條件是針對所有大於0的實數$\epsilon$，存在一實數$\delta >0$，使得針對所有的$x,y\in X,|x-y|<\delta$即表示$⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon$。

一致连续和每一點連续的差異在一致连续時，$\delta$值只和$\epsilon$值有關，和該值在定義域中的位置無關。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

級數

Template:Main article 給定一無窮序列 $(a_n)$，即可定義相關的級數為$a_1+a_2+a_3+\cdots =\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n$，有時會簡稱為$\sum a_n$。級數的部份和$\sum a_n$為$s_n={\sum }_{j=1}^n{a}_j$。級數$\sum a_n$收斂的條件是部份和的數列$(s_n)$收斂，否則級數即稱為發散。收斂級數的和$s={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$定義為$s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$.

等比数列的和就是一個收斂級數，也是芝诺悖论的基礎：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$.

以下的調和級數即為發散級數：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty }$.

（此處“$=\mathrm{\infty }$”不是嚴謹的表示方式，只是表示部份和會無限制地増長）

微分

Template:Main article 函數$f$在$a$位置的導數為以下的函數極限

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

若導數在所有位置都存在，稱函數為可微分，可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類$C^0$包括所有連續函數，分類$C^1$包括所有導數連續的可微函数，這類函數稱為「連續可微」。分類$C^1$是指其導數在分類$C^1$中的函數。一般來說，分類$C^k$可以用递归方式定義，定義方式是宣告分類$C^0$是所有的連續函數，而分類$C^k$（$k$為正整數）是所有可微，而且其導數為$C^{k-1}$的函數。而分類$C^k$包括在分類$C^{k-1}$中，對所有的正整數$k$都成立。分類$C^{\mathrm{\infty }}$是所有$C^k$的交集，其中$k$為所有的非負整數。$C^{\omega }$包括所有的解析函数，是分類$C^{\mathrm{\infty }}$的嚴格子集。

積分

黎曼積分

Template:Main article 黎曼積分定義函數的黎曼和，對應為一個區間內的標記分區（tagged partitions）。令$[a,b]$為實數下的封閉區間，則在區間$[a,b]$內的標記分區為有限數列

$a=x_0\le t_1\le x_1\le t_2\le x_2\le \cdots \le x_{n-1}\le t_n\le x_n=b.$

將區間$[a,b]$分隔為$n$個下標為$i$子區間$[x_{i-1},x_i]$，每一個用不同的點$t_i\in [x_{i-1},x_i]$來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

$\sum _{i=1}^{n}f(t_i){\mathrm{\Delta }}_i;$

則和的每一項都是長方形的面積，其高為函數在給定子區間內，標示點的數值，寬和子區間的寬相等。令${\mathrm{\Delta }}_i=x_i-x_{i-1}$為子區間$i$的寬，則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度${\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_{i=1\dots n}{\mathrm{\Delta }}_i$。函數$f$在區間$[a,b]$內的黎曼積分等於$S$若：

對所有$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得，對於任何有標示，且網格小於$\delta$的區間$[a,b]$，以下的式子成立

$|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_i){\mathrm{\Delta }}_i|<\epsilon .$

若選定的標示都是每個區間內函數的最大值（或最小值），黎曼積分就會成為上（或下）达布和，因此黎曼積分和达布积分有緊密的關係。

勒貝格積分

Template:Main article 勒貝格積分是一種積分概念，可以將積分延伸到更大範圍的函數，同時也拓展函數的定义域。

分布

Template:Main article 分布或是广义函数是一種將函数擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定會有广义函数下的導數。

和複變分析的關係

实变函数论是数学分析的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的导数及积分。實變分析專注在实数，多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究复数對應性質的複分析緊密相關。在複分析中，很自然的會對全純函數定義导数，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且滿足柯西積分公式。

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數或调和函数，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代数基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函数理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用留数定理來計算實變函數的定積分。

重要結果

實分析的重要結果包括波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

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