留数定理

Template:Complex analysis sidebar 在複分析中，留数定理，又叫残数定理（Template:Lang-en），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。

定理

假设$U$是复平面上的一个单连通开子集，$a_1,\cdots ,a_n$是复平面上有限个点，$f$是定义在$U\setminus a_1,\cdots ,a_n$的全纯函数。如果$\gamma$是一条把$a_1,\cdots ,a_n$包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个$a_k$，并且其起点与终点重合，那么：

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{I}(\gamma ,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k).$

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, a_k) = 1，因此：

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,a_k).$

在这里，Res(f, a_k)表示f在点a_k的留数，I(γ, a_k)表示γ关于点a_k的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点a_k的次数。如果γ依逆时针方向绕着a_k移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过a_k，卷绕数就是零。

例子

实轴上的积分

以下的积分

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itx}}{x^2+1}dx$

File:ContourDiagram.png

积分路径

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

$\underset{C}{\int }f(z)dz=\underset{C}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz.$

由于e^itz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z² + 1为零时才具有奇点。由于z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

$\frac{e^{itz}}{z^2+1}$	$=\frac{e^{itz}}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})$
	$=\frac{e^{itz}}{2i}\frac{1}{z-i}-\frac{e^{itz}}{2i(z+i)},$

f(z)在z = i的留数是：

${\mathrm{Res}}_{z=i}f(z)=\frac{e^{-t}}{2i}.$

根据留数定理，我们有：

$\underset{C}{\int }f(z)dz=2\pi i\cdot {\mathrm{Res}}_{z=i}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t}}{2i}=\pi e^{-t}.$

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

$\underset{\text{straight}}{\int }+\underset{\text{arc}}{\int }=\pi e^{-t}$

因此

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}=\pi e^{-t}-\underset{\text{arc}}{\int }.$

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

$\underset{\text{arc}}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz\le \underset{\text{arc}}{\int }\left|\frac{e^{itz}}{z^2+1}\right||dz|=\underset{\text{arc}}{\int }\frac{|e^{itz}|}{|z^2+1|}|dz|=\underset{\text{arc}}{\int }\frac{1}{|z^2+1|}|dz|\le \underset{\text{arc}}{\int }\frac{1}{a^2-1}|dz|=\frac{\pi a}{a^2-1}\to 0\text{as}a\to \mathrm{\infty }.$

上述结果也可以直接由Template:Le得到，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要$t>0$才能成立，所以如果$t<0$就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果t > 0，那么：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-t}.$

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^t,$

因此我们有：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

无穷级数

由于$\pi \cot (\pi z)$在$z$为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为$1$，因此可以用来计算如下所示级数：

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

在此处令$f(z)=z^{-2}$，并且令${\mathrm{\Gamma }}_N$为${[-N-\frac{1}{2},N+\frac{1}{2}]}^2$的正方形正向（逆时针）围道（其中$N$为整数），于是依留数定理：

$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }f(z)\pi \cot (\pi z)\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }\frac{\pi \cot (\pi z)}{z^2}\mathrm{d}z={\mathrm{Res}}_{z=0}+\underset{n\ne 0}{\sum _{n=-N}^N}\frac{1}{n^2}$

当$N\to \mathrm{\infty }$时，等式左侧由于$O(n^{-2})$而趋于零；另一方面：

$\frac{z}{2}\cot \frac{z}{2}=1-\frac{B_2{z}^2}{2!}+\cdots =1-\frac{z^2}{12}+\cdots$

其中有伯努利数$B_2=\frac{1}{6}$。

（实际上有$\frac{z}{2}\cot \frac{z}{2}=\frac{\mathrm{i}z}{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}-\frac{\mathrm{i}z}{2}$）因此，${\mathrm{Res}}_{z=0}=-\frac{{\pi }^2}{3}$，可以得出：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

即为巴塞尔问题的证明之一。

参见

• 留数
• 路径积分
• 莫雷拉定理
• 傅里叶变换
• 拉普拉斯变换

参考文献

• Template:Citation
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外部链接

• Mathworld Template:Wayback
• John H. Mathews所作的留数定理教程